向量配套例题

来源：《怎样三线》PDF 第 43—59 页。以下题干已对照印刷原文整理；解答为手写，统一留空“解答待添加”。

P4：两次垂心构造

来源：PDF 第 46—47 页。

$H$ 是锐角三角形 $ABC$ 的垂心。点 $A_1,B_1,C_1$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 内部，且 $H$ 也是三角形 $A_1B_1C_1$ 的垂心。直线 $AH,BH,CH$ 分别交 $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$ 于 $A_2,B_2,C_2$。证明：$H$ 是三角形 $A_2B_2C_2$ 的垂心。

解答待添加。

P5：两三角形的公共垂心

来源：PDF 第 48—49 页，most。

锐角三角形 $ABC$ 的外心、垂心分别为 $O,H$。其内接三角形 $DEF$ 的顶点 $D,E,F$ 分别位于 $BC,CA,AB$，垂心也是 $H$。若 $AD,BE,CF$ 共点，证明所共点在直线 $OH$ 上（$O\ne H$ 的非退化情形）。

解答待添加。

P6：弧中点反射与九点圆心

来源：PDF 第 50—51 页，GOE 25 第 2 题。

三角形 $ABC$ 外接圆上不含对应顶点的弧 $BC,CA,AB$ 的中点分别为 $D,E,F$。它们关于直线 $BC,CA,AB$ 的对称点分别为 $D',E',F'$。证明：三角形 $ABC$ 与 $D'E'F'$ 的九点圆心重合。

解答待添加。 弧的选择按原题图补明。

P8：点积与垂直

来源：PDF 第 55—56 页，GOE 25 第 4 题。

三角形 $ABC$ 的高为 $AD$，外心、垂心分别为 $O,H$，$AH$ 的中点为 $M$。延长 $OD$ 交三角形 $OBC$ 的外接圆于 $G\ne O$。三角形 $GHD$ 的外心为 $R$。取 $O$ 在三角形 $OBC$ 外接圆上的对径点 $K$；取点 $S$ 使 $SM\parallel AO$ 且 $SG=SK$；取点 $J$ 使 $MJ\perp AR$ 且 $JA=JG$。证明：$JS\perp RG$。

所有圆、直线与交点均按题图取非退化情形。

解答待添加。

P9：内心的 Ceva 三角形

来源：PDF 第 57—59 页，GOE 25 第 7 题。

三角形 $ABC$ 的内心、外心分别为 $I,O$。设 $D=AI\cap BC,E=BI\cap CA,F=CI\cap AB$，三角形 $DEF$ 的九点圆心为 $N$。证明：$N,O,I$ 三点共线。

解答待添加。

收录范围

本页收录 P4、P5、P6、P8、P9。P1—P3 的题干嵌在旋转图片中；P7 使用的“伪内切圆”需先补齐定义，暂未收录，避免依赖读者猜测构型。