直线、交点与共线共点

来源：《怎样三线》PDF 第 4、11 页，§0.3.5、0.4.3。

直线方程

重心坐标下，直线写成

$$ux+vy+wz=0.$$

由于 $A=(1:0:0)$，直线经过 $A$ 当且仅当 $u=0$。所以经过同一顶点的直线保留另外两坐标的固定比例：若 $P=(p:q:r)$，$AP$ 上的点可写成 $(t:q:r)$，顶点本身另行加入。

叉乘求连线和交点

把点坐标与直线系数都视作三元组。过 $P,Q$ 的直线系数为

$$\ell=P\times Q.$$

两条不同直线的交点为

$$X=\ell_1\times\ell_2.$$

这里是三元数组的代数叉乘，用于行列式运算；不是把三个重心坐标当成空间中的直角坐标。若叉乘结果为零组，通常意味着输入点重合或输入直线重合，需要重新判断。

共线与共点

三点共线当且仅当

$$\det\begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3 \end{pmatrix}=0.$$

三线共点（含射影意义下的无穷远点）时，其系数行列式也为零。若题目要求有限共点，还需检查交点坐标和不为零。

平行与垂直

有限平面中 $x+y+z=1$。因此

$$ux+vy+wz+\lambda(x+y+z)=0$$

表示一族平行直线，退化成常数方程的情形除外。

计算 $MN$ 的方向时先将 $M,N$ 归一化。设两方向的坐标差为 $d=(d_x,d_y,d_z)$、$e=(e_x,e_y,e_z)$，两者坐标和均为零，则

$$\mathbf d\cdot\mathbf e=-\frac12\left[ a^2(d_ye_z+d_ze_y)+b^2(d_ze_x+d_xe_z)+c^2(d_xe_y+d_ye_x) \right].$$

点积为零就是垂直条件。需要夹角时再除以两方向向量的模长乘积。