三线与重心坐标

本模块适用于存在一个核心三角形且对象频繁经过其顶点的几何题。课程结构按三线坐标框架组织：先统一齐次建模，再做代数消元与条件转化，强调“几何关系—代数表达—反推几何结论”的闭环。

先分清两套坐标

原讲义主要计算的是 Barycentric coordinates，重心坐标。严格的三线坐标用点到三条边的有向距离比来表示。对边长为 $a,b,c$ 的基准三角形，有

$$\text{三线坐标 }(\alpha:\beta:\gamma) \quad\longleftrightarrow\quad \text{重心坐标 }(a\alpha:b\beta:c\gamma).$$

本模块沿用“三线”导航名，正文中的 $(x:y:z)$ 默认指重心坐标。原笔记中简称 Bary 的部分均按重心坐标处理。

学习路线

1. 坐标、面积与特殊点：齐次坐标、归一化、面积比、常见中心与共轭。
2. 直线与交点：叉乘、行列式、共线共点与方向向量。
3. 距离、圆与根轴：固定二次项、圆系和过顶点直线。
4. 坐标更换与计算策略：分阶段换基准三角形、康威换元及几何预处理。
5. 配套例题：保留原题编号与来源页码。

讲义第 41—59 页的向量篇已单列到向量方法。原始文件留在本地参考资料目录；手写解答保留“解答待添加”。