坐标、面积与特殊点

来源：《怎样三线》PDF 第 2—3 页，§0.1—0.2。

从向量线性组合出发

对非退化基准三角形 $ABC$，点 $P$ 的归一化重心坐标满足

$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}, \qquad x+y+z=1.$$

系数和为 $1$ 使表达式不依赖原点 $O$ 的选择。

齐次写法 $(x:y:z)$ 只表示比例。乘以任意非零常数仍表示同一点。若 $s=x+y+z\ne0$，真正用于向量加减的系数为

$$\left(\frac xs,\frac ys,\frac zs\right).$$

不要直接把和不同的两组齐次坐标相加或相减。 和为零的非零三元组不表示普通有限点；它可在射影扩充中表示无穷远方向。

面积与边上的比例

使用同一方向的有向面积时，归一化坐标为

$$x=\frac{[PBC]}{[ABC]},\qquad y=\frac{[PCA]}{[ABC]},\qquad z=\frac{[PAB]}{[ABC]}.$$

点在三角形内部当且仅当三坐标都为正。顶点及边分别为

$$A=(1:0:0),\ B=(0:1:0),\ C=(0:0:1),\qquad BC:\ x=0.$$

若 $D=AP\cap BC=(0:y:z)$，内部情形下

$$\frac{BD}{DC}=\frac zy.$$

比例是“反的”：靠近 $B$ 时 $B$ 的质量 $y$ 更大，而 $BD$ 更小。

常用中心

点	重心坐标
重心 $G$	$(1:1:1)$
内心 $I$	$(a:b:c)$
$A$ 旁心 $I_A$	$(-a:b:c)$
外心 $O$	$(\sin2A:\sin2B:\sin2C)$
垂心 $H$	$(\tan A:\tan B:\tan C)$，非直角情形
陪位重心 $K$	$(a^2:b^2:c^2)$

若三角形在 $A$ 处为直角，垂心为 $A$，外心为 $(0:1:1)$；不要直接代入出现零组或无定义项的三角函数表式。

等角与等截共轭

对三个坐标均非零的点 $P=(x:y:z)$，

$$P^{\mathrm{iso}}=\left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right), \qquad P^{\mathrm{isot}}=\left(\frac1x:\frac1y:\frac1z\right).$$

前者为等角共轭，后者为等截共轭。等角共轭重心就是陪位重心 $K$。在严格三线坐标中，等角共轭才是直接取倒数；转换公式中的边长因子不能漏掉。