距离、圆与根轴

来源：《怎样三线》PDF 第 4、6、8、11—12 页。

距离公式必须使用归一化坐标

设 $P=(x_1,y_1,z_1),Q=(x_2,y_2,z_2)$ 均已归一化。令 $d_x=x_2-x_1$，另两项同理，则 $d_x+d_y+d_z=0$，且

$$PQ^2=-a^2d_yd_z-b^2d_zd_x-c^2d_xd_y.$$

例如以外心为原点，$3\mathbf G=\mathbf A+\mathbf B+\mathbf C$，由半径与边长点积关系可得

$$OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}.$$

外接圆与一般圆

记

$$S=x+y+z,\qquad Q=a^2yz+b^2zx+c^2xy.$$

基准三角形的外接圆为

$$Q=0.$$

一般圆的齐次方程可写为

$$-Q+(ux+vy+wz)S=0.$$

基准三角形固定后，圆的二次项固定，只需确定 $u,v,w$ 三个参数。对有限点，圆幂为

$$\operatorname{Pow}(P)=-\frac{Q(P)}{S(P)^2} +\frac{ux+vy+wz}{S(P)}.$$

这里的 $u,v,w$ 是圆幂在顶点 $A,B,C$ 的值，不是圆心坐标。圆方程也可能退化为点圆，或没有实点；“有圆的方程形式”并不保证存在实圆周。

根轴与圆系

两圆方程相减消去 $Q$，在有限平面内得到根轴

$$(u_1-u_2)x+(v_1-v_2)y+(w_1-w_2)z=0.$$

圆系可以通过方程的线性组合构造。若二次项被完全消去，成员会退化为直线。三圆根轴重合只说明共轴；要证明有两个实公共点，还需要排除相切和相离。

过顶点直线与圆的第二交点

设过 $A$ 的直线上坐标比例为 $y:z=m:n$，代入外接圆：

$$a^2mn+x(b^2n+c^2m)=0.$$

当 $b^2n+c^2m\ne0$ 时，除顶点 $A$ 外的交点可取

$$x=-\frac{a^2mn}{b^2n+c^2m}.$$

这解释了为什么“过顶点的直线很多”时，重心坐标特别方便：一个交点已知，剩余计算降为一次。

外接圆切线与判别式

外接圆在 $A$ 处的切线为

$$c^2y+b^2z=0.$$

以 $A$ 为圆心、半径为零的点圆则为

$$-Q+(c^2y+b^2z)S=0.$$

直线 $ux+vy+wz=0$ 与外接圆联立，对非退化二次式，判别式可化为

$$\mathcal D=a^4u^2+b^4v^2+c^4w^2 -2a^2b^2uv-2b^2c^2vw-2c^2a^2wu.$$

切线满足 $\mathcal D=0$；若希望交点在所用系数域内有有理表达式，还需判断判别式是否为该域中的平方，并检查消元时被除去的系数。