讲义中的计算策略

来源：《高联-几何-计算方法-三角》PDF 第 3—8 页，《访谈纪要和学习笔记》，RynW1988 整理。以下保留方法内容；受访者关于学习时间和比赛成功率的个人判断不作为课程结论。

优先尝试哪些工具

先试正弦定理、倍角和分角定理，再看三角形式的 Ceva、Menelaus、三弦关系。必要时展开三角恒等式、使用余弦定理，或补一条能直接应用这些工具的辅助线。

选取一条参考圆的直径为 $1$ 后，其弦长可直接写成对应圆周角的正弦。重点是减少尺度因子，不要求所有题都设同样的基本量。

两种常用比例

刻画边 $BC$ 上的点 $D$，可使用 $BD/DC$；刻画经过 $A$ 的射线 $AD$，可使用

$$\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}.$$

分角定理把这两种比例连起来。设 $k=BD/DC$，内部点满足

$$\frac{BD}{BC}=\frac{k}{1+k}.$$

从 $k$ 换成 $k/(1+k)$ 会产生加法和新的分母。如果结论只需前一种比，就保留乘积形式，避免过早拆成单段长度。

从后往前消点

按构造依赖给点分层：原始顶点是第一层，由它们确定的点是第二层，再向后递推。先处理最高层的点，将结论改写成更早的点之间的比例。

若已知 $Y,Z,W$ 共线，且 $W$ 比 $Z$ 更容易表示，在非退化情况下，证明 $X,Y,Z$ 共线可以转成证明 $X,Y,W$ 共线。这就是“换点”的基本思路。

相似对应、旋转相似、相交弦和共边面积比，都可以承担这种替换。换点后仍需检查新点是否真的更简单。

悬浮点与根式

不在参考圆上的点，可以尝试引出经过它的弦，将它对圆上弦的张角化成圆周角的和差。

遇到根式，先问结论是否只依赖两个交点的对称组合。若只需要和、积或同一条直线，可能无需分别求出交点。正弦平方差

$$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$$

也可能消去中间根式。平方前要记录符号和取值范围，最后排除增根。

一次计算的检查顺序

1. 确认基本量足以表示整个构型，并记录取值范围。
2. 从最后构造的点向前消去，尽量保留比例。
3. 把条件与结论化成同一组基本量的表达式。
4. 变形时检查有向角、分母与平方操作；若使用两次方程，还要确认选择的是同一几何分支。

本页与构型更换、三角转换、恒等变换配合使用。