三角法配套例题

来源：《高联-几何-计算方法-三角.pdf》。以下收录题干清晰、可独立阅读的例题，保留 PDF 页码及原编号。原文件有重复编号，下面用题名区分。手写解答未识别；已有对应网页的题目提供链接。

P5：内心、垂足与第二交点

来源：PDF 第 14 页。

三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\Gamma$，内心为 $I$，$M$ 是 $BC$ 的中点，$D$ 是 $I$ 到 $BC$ 的垂足。过 $I$ 作垂直于 $AI$ 的直线，分别交边 $AB,AC$ 于 $F,E$。三角形 $AEF$ 的外接圆与 $\Gamma$ 的另一交点为 $X$。证明：直线 $XD$ 与 $AM$ 的交点在 $\Gamma$ 上。

排印解答中的计算线索（第 14 页，秋叶）：以 $CX/BX$ 为中间量，用 $\triangle XFB\sim\triangle XEC$ 转成 $CE/BF$，再将它写成半角表达式：

$$\frac{CX}{BX}=\frac{CE}{BF} =\frac{\cot(B/2)-\tan(A/2)}{\cot(C/2)-\tan(A/2)}.$$

后续将 $BD/CD$ 和中线的分角正弦比代入比较。原文末步仅写“三角恒等变形即证”，完整展开解答待添加。

P9：2019 IMO Shortlist G5

来源：PDF 第 18—19 页。

在凸五边形 $ABCDE$ 中，$CD=DE$，$\angle EDC\ne2\angle ADB$。点 $P$ 在五边形内部，满足 $AP=AE$、$BP=BC$。证明：$P$ 在对角线 $CE$ 上，当且仅当

$$[BCD]+[ADE]=[ABD]+[ABP].$$

解答待添加。 原解答为手写。

P10：2022 IMO Shortlist G2

来源：PDF 第 20—21 页。

在锐角三角形 $ABC$ 中，$P$ 是内部一点，且 $AP\perp BC$。过 $P$ 作 $AC,AB$ 的平行线，分别交线段 $BC$ 于 $D,E$。$X\ne A$ 在三角形 $ABD$ 的外接圆上，满足 $DA=DX$；$Y\ne A$ 在三角形 $ACE$ 的外接圆上，满足 $EA=EY$。证明：$B,C,X,Y$ 四点共圆。

解答待添加。 原解答为手写；排除 $X=A,Y=A$ 是题图采用的非退化交点约定。

P11：2025 IMO P2

来源：PDF 第 22—23 页。

圆 $\Omega$ 和 $\Gamma$ 的圆心分别为 $M,N$，且 $\Omega$ 的半径小于 $\Gamma$ 的半径。两圆交于相异点 $A,B$。直线 $MN$ 与 $\Omega,\Gamma$ 分别有交点 $C,D$，使 $C,M,N,D$ 依次排列。设 $P$ 为三角形 $ACD$ 的外心，直线 $AP$ 再交 $\Omega,\Gamma$ 于 $E,F$，$H$ 为三角形 $PMN$ 的垂心。证明：过 $H$ 且平行于 $AP$ 的直线与三角形 $BEF$ 的外接圆相切。

解答待添加。 原解答为手写。

P12：2021 EGMO P4

来源：PDF 第 24—25 页。

三角形 $ABC$ 的内心为 $I$，$D$ 是边 $BC$ 上的一点。过 $D$ 作垂直于 $BI$ 的直线交 $CI$ 于 $E$，过 $D$ 作垂直于 $CI$ 的直线交 $BI$ 于 $F$。证明：$A$ 关于直线 $EF$ 的对称点在直线 $BC$ 上。

解答待添加。 原解答为手写。

P13：2023 IMO P6

来源：PDF 第 26—27 页。题干与三线法 P4相同，可比较两种表达方式。

三角法解答待添加。 手写部分未转录。

P15：圆与两边相切

来源：PDF 第 29—30 页，讲义标注为 2024 保加利亚数学奥林匹克第 6 题。

三角形 $ABC$ 中，以 $I$ 为圆心的圆 $\omega$ 与 $AB,AC$ 均相切，且与 $BC$ 交于相异点 $X,Y$。过 $I$ 且垂直于 $BC$ 的直线，与过 $A$ 且平行于 $BC$ 的直线交于 $Z$。证明：三角形 $XYZ$ 与 $ABC$ 的外接圆相切。

解答待添加。 原解答为手写。

P16：2014 IMO P4

来源：PDF 第 31—32 页。

点 $P,Q$ 在锐角三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上，满足 $\angle PAB=\angle BCA$、$\angle CAQ=\angle ABC$。点 $M,N$ 分别在直线 $AP,AQ$ 上，且 $P$ 为 $AM$ 的中点，$Q$ 为 $AN$ 的中点。证明：直线 $BM$ 与 $CN$ 的交点在三角形 $ABC$ 的外接圆上。

解答待添加。 原解答为手写。

P17：1996 IMO P2

来源：PDF 第 33—34 页。

点 $P$ 在三角形 $ABC$ 内，且

$$\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC.$$

$D,E$ 分别是三角形 $APB,APC$ 的内心。证明：$AP,BD,CE$ 三线共点。

排印解答中的计算线索（学习意志）：用经过 $P$ 的三条射线把顶点角分成六个基本角，条件给出线性角关系；用三角 Ceva 将共点化为正弦乘积关系，再作恒等变换。原文的长式展开尚未校对，完整解答待添加。

P19：2024 USAMO P5

来源：PDF 第 37—39 页。

点 $D$ 在锐角三角形 $ABC$ 内，满足 $\angle DAC=\angle ACB$ 且 $\angle BDC=90^\circ+\angle BAC$。点 $E$ 在射线 $BD$ 上，满足 $AE=EC$。$M$ 是 $BC$ 的中点。证明：$AB$ 与三角形 $BEM$ 的外接圆相切。

已有 nb 配套解析法解答。本讲义的三角解答使用角基本量、正弦定理和圆周角；其长式排印推导待校对补入。

2016 CMO P2：两组共线与共圆

来源：PDF 第 42—44 页，原文习题二的两种解法。

题干见已收录的 2016 CMO P2。本 PDF 第 42—43 页的排印解答主要使用极线、根轴和调和点列；第 44 页为手写解答。两种解答暂未转录。

P23：等腰三角形中的换点

来源：PDF 第 51—52 页。

三角形 $ABC$ 中，$AB=AC$。$D$ 在射线 $AB$ 上且位于 $B$ 外侧，$E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $BD=CE$。三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\Gamma$。三角形 $BDE$ 的外接圆与 $\Gamma$ 的另一交点为 $P$，三角形 $CDE$ 的外接圆与 $\Gamma$ 的另一交点为 $Q$。证明：$PQ\parallel BC$。

解答待添加。 原解答为手写。

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