复数法：世界观与方法论

复数法把平面上的点、线、圆转化为可以运算的式子。学习分成两步：世界观解决“怎样表达几何关系”，方法论解决“怎样选择计算路径”。

本模块参考《复数法世界观与方法论》和《复数法课程群聊发言稿》，沿着“点 → 直线 → 圆 → 计算方法”的顺序整理。需要具备实部、虚部、共轭、模长和复数乘除的课内基础。

什么时候考虑复数法

当题目围绕一个主要圆展开，或反复出现旋转、相似、成角、三点轮换时，复数往往能把条件写得简洁。直线很多、两圆地位对称，或距离关系更适合拆成横纵坐标时，也可以比较解析法的计算量。

选择的依据是：哪一种坐标能同时简化条件与结论。 单位圆很好用，但不必每题都设单位圆。

世界观：先学会表达

章节	学会什么
点与四种语言	在代数、笛卡尔形式、欧拉形式与几何意义之间转换
单位圆与基本点	用共轭换倒数，表达中点、垂心、重心与九点圆
直线、斜率与交点	用点斜式处理方向、垂足、对称与交点
圆与接触关系	处理第二交点、切线、极线、根轴与相切
圆的生成与坐标选择	使用共轴圆系、右单位圆与另类单位圆
三种内心系	按外接圆、内切圆或圆 $BIC$ 选择基本量

方法论：再学会少算

从方法论导读开始，依次学习：

1. 简洁、变量与对称：选好实轴方向，保留结构。
2. 移轴与免解坐标流：只计算下一步需要的量。
3. 赋值、曲线系与反演：重组方程，降低计算难度。
4. 看图敢说话，观察省时间：直接翻译条件，带着目标验证。

最后用三个基础例题串联工具：垂心、两切线交点、过圆上一点求第二交点。

记号与整理说明

点用大写字母，复数坐标用对应小写字母；$\bar z$ 表示共轭，$\mathrm i$ 表示虚数单位，内心坐标另记为 $\iota$。直线采用 $z-k\bar z=f$ 的约定。涉及直线方向的角均按模 $\pi$ 的有向角处理。

两份参考 PDF 中有公式空白和文字识别错误。本模块保留原课程的组织思路，对公式统一记号、补充推导和适用条件；基础例题为本站配套说明。文末页码按 PDF 页序计。

参考：R.W. 主讲《复数法课程群聊发言稿》第 1–2 页；《复数法世界观与方法论》第 1、9、15–19 页。