简洁与对称

核心规则：只展开下一步真正需要的部分。 简洁不是字符越少越好，而是让方向、对称性和可用约束保持可见。

给实轴一个方向

设直线方向角为 $\theta$ ，本讲使用的复数斜率为

k=e^{2i\theta},\qquad z-k\bar z=f.

若实轴平行于这条直线，则 $k=1$ ，方程化为 $z-\bar z=f$ 。线上的点都满足 $\bar z=z-f$ ，共轭可以直接消去。存在反射对称时，让对称轴成为实轴，反射就写成 $z\mapsto\bar z$ 。

优先照顾反复生成点的方向。若图形具有完整的三点轮换结构，固定其中一条边的方向反而可能破坏表达的对称性，此时可以保留旋转自由度。选轴是计算选择，不能把原本不成立的平行关系作为条件加入。

若一段表达反复出现，先给它名字，再记录定义。设 $a,b$ 在单位圆上，令

s=a+b,\qquad t=ab.

则

\bar s=\frac{s}{t},\qquad \bar t=\frac1t, \qquad a^2+b^2=s^2-2t.

这些「溢出变量」没有增加图形的自由度；它们通过定义与原变量联系。涉及 $a,b$ 的对称多项式可以用 $s,t$ 表示，后续计算未必需要再次展开。

若目标是比值 $N/D$ ，可以先设 $u=N/D$ 并保留 $uD=N$ ，但要记录 $D\ne0$ 。一个复变量通常包含两个实自由度，因此不能机械地把「一个变量」等同于「一条实约束」。

若交换 $a,b$ 会交换两个构造点 $P,Q$ ，并且构造中的分支也对应交换，那么从

p=F(a,b)

可以直接得到 $q=F(b,a)$ 。不必重新求一次交点。对称轴为实轴时，几何反射对应共轭；参数交换则是另一种操作，使用前应说明两者的对应关系。

要证 $p=q$ ，可以尝试证明 $F$ 只依赖 $s=a+b$ 和 $t=ab$ 。若含有根号，还要核对根号分支在交换后如何变化；仅有相同的平方值不能推出两个点相同。

若最后只用 $p-a$ ，就在两条直线的方程中代入 $z=a+w$ ，求 $w$ 。先求完整的 $p$ 再减 $a$ ，常会制造额外通分。

同样，求外心时若最后只需要它到某点的位移，就保留该位移；方程系中只需要 $\lambda+\mu$ 时，先看能否直接组合方程得到它。保留整体、直接求组合、复用对称结构，是本节最常用的三种动作。

参考：本地《复数法世界观与方法论.pdf》第 9–12 页（简洁、溢出变量、对称算一半）；公式与分支说明为本站补充推导。