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点与复数的四种语言

把点 PP 写成复数 p=x+iyp=x+\mathrm i y，并没有减少它的两个实自由度。优势在于：实部和虚部可以一起参与运算，许多几何关系能由一个复数等式表达。

点、向量与共轭​

pˉ=x−iy,Re⁡p=p+pˉ2,Im⁡p=p−pˉ2i.\bar p=x-\mathrm i y,\qquad \operatorname{Re}p=\frac{p+\bar p}{2},\qquad \operatorname{Im}p=\frac{p-\bar p}{2\mathrm i}.

从 AA 指向 BB 的向量是 b−ab-a，距离是 ∣b−a∣|b-a|。点 PP 关于实轴的对称点是 pˉ\bar p，在实轴上的投影是 (p+pˉ)/2(p+\bar p)/2。

求共轭时要对整个式子操作。例如

a−bc−d‾=aˉ−bˉcˉ−dˉ,c≠d.\overline{\frac{a-b}{c-d}}= \frac{\bar a-\bar b}{\bar c-\bar d},\qquad c\ne d.

不要把一般点的共轭直接当成倒数；那是单位圆上才有的约束。

同一个对象，四种表达​

以单位圆为例：

语言单位圆的表达适合做什么
代数与方程zzˉ=1z\bar z=1消元、因式分解、验证恒等式
笛卡尔形式z=x+iyz=x+\mathrm i y，x2+y2=1x^2+y^2=1符号判断、实数不等式、横纵坐标
欧拉形式z=eiθz=e^{\mathrm i\theta}旋转、角度、单位根
几何意义点到原点的距离为 11识别图形、对称与垂直关系

这些表达可以在同一道题中切换。用欧拉形式翻译角度后，可以转回多项式运算；得到简洁式子后，再识别它对应哪个几何对象。

平行、垂直与相似​

对非零复数 u,vu,v，

u∥v  ⟺  uv∈R,u⊥v  ⟺  uv∈iR.u\parallel v\iff \frac uv\in\mathbb R, \qquad u\perp v\iff \frac uv\in\mathrm i\mathbb R.

判断实数或纯虚数，也可以不做除法：

q∈R  ⟺  q=qˉ,q∈iR  ⟺  q=−qˉ.q\in\mathbb R\iff q=\bar q, \qquad q\in\mathrm i\mathbb R\iff q=-\bar q.

这里 iR\mathrm i\mathbb R 包含 00；表示方向时必须另外排除零向量。

例如，A,B,CA,B,C 三点共线可写成

c−ab−a∈R,a≠b.\frac{c-a}{b-a}\in\mathbb R,\qquad a\ne b.

同向相似变换写成

z′=αz+β,α≠0.z'=\alpha z+\beta,\qquad \alpha\ne0.

其中 ∣α∣|\alpha| 是缩放倍数，arg⁡α\arg\alpha 是旋转角。若涉及镜像相似，则用 z′=αzˉ+βz'=\alpha\bar z+\beta。

四点共圆怎样表达​

四个互异点满足

(a−c)(b−d)(a−d)(b−c)∈R\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}\in\mathbb R

当且仅当它们共圆或共线。若题目已排除共线，这就是四点共圆的判定。这个式子来自两组有向角相等，注意分母非零。

学习时可以先反复做两件事：把几何条件写成式子，再说出式子的几何意义。只有翻译可靠，后续计算才有方向。

参考：《复数法世界观与方法论》第 1–3 页；《复数法课程群聊发言稿》第 2–8 页。公式按统一记号补充说明。