三种内心系

“内心系”不是额外的一套几何定理，而是按内心参与图形的方式选择坐标。以下用 $\iota$ 表示内心坐标，避免与虚数单位 $\mathrm i$ 混淆。

外接圆为单位圆：保留原三角形

设 $|a|=|b|=|c|=1$，三条边长为

$$\alpha=|b-c|,\qquad \beta=|c-a|,\qquad \gamma=|a-b|.$$

内心和 $A$ 对应的旁心分别为

$$\iota=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+\beta+\gamma}, \qquad j_A=\frac{-\alpha a+\beta b+\gamma c}{-\alpha+\beta+\gamma}.$$

这是由角平分线的边长比得到的加权坐标式，适合核对内心的位置。

课程还用单位复数的平方根来吸收半角：把三个顶点写成 $p^2,q^2,r^2$。选取相容的平方根符号后，可约定

$$\iota=-(pq+qr+rp),\qquad j_A=-qr+rp+pq.$$

这些平方根不能任意选支；改动一个根的符号，可能把内心换成旁心。实际使用时，以原图中的内角平分线或上面的边长加权式核对分支。只需要一个内心、同时频繁使用原外接圆时，这类设置较合适。

内切圆为单位圆：由切点生成顶点

若三条边和切点地位对称，可把内心设为原点，内切圆半径设为 $1$。令 $D,E,F$ 分别为 $BC,CA,AB$ 上的切点，故

$$|d|=|e|=|f|=1,\qquad \iota=0.$$

三边直接写成单位圆切线：

$$BC:\ z+d^2\bar z=2d, \quad CA:\ z+e^2\bar z=2e, \quad AB:\ z+f^2\bar z=2f.$$

联立两条切线得到

$$a=\frac{2ef}{e+f},\qquad b=\frac{2fd}{f+d},\qquad c=\frac{2de}{d+e}.$$

这里相应两切点应互异且不互为对径点。若分母为零，两切线平行，无法生成有限顶点。

三个切点应来自题目中的非退化三角形；任意取三个单位圆点并作切线，单位圆也可能成为某个旁切圆，不能仅凭代数式判断“内切”。

圆 $BIC$ 为单位圆：突出一条角平分线

设原三角形为 $ABC$，内心为 $I$，$A$ 旁心为 $J_A$。原外接圆上不含 $A$ 的弧 $BC$ 中点 $S$ 满足

$$SB=SC=SI=SJ_A.$$

因此可取 $S$ 为原点，以该长度为单位，旋转使

$$\iota=1,\qquad j_A=-1,\qquad |b|=|c|=1.$$

直线 $AIJ_A$ 就是实轴。课程把这种设置称为“鸡爪圆内心系”。沿用原三角形的内外位置关系，可以写出

$$m=b+c,\qquad n=bc,\qquad a=\frac{1+bc}{b+c}=\frac{1+n}{m},\qquad m\ne0.$$

这个 $a$ 确实是实数：由 $\bar m=m/n$、$\bar n=1/n$ 可得 $\bar a=a$。

常用方程和垂足为

$$BC:\ z+n\bar z=m, \qquad AB:\ z+\frac bc\bar z=b+\frac1c,$$ $$(ABC):\ z\bar z-\frac zm-\frac n m\bar z=0, \qquad h_I=\frac{1+m-n}{2}.$$

$h_I$ 是内心 $I$ 到 $BC$ 的垂足，直接由弦垂足公式代入 $p=1$ 得到。注意：原外接圆 $(ABC)$ 此时过原点，已经不是单位圆。

怎样选

图形的主要关系	优先尝试
原外接圆上的点很多，只额外出现内心	外接圆单位圆与半角基本量
三边、内切点轮换对称	内切圆单位圆与切点三角形
圆 $BIC$、弧中点、$A$ 角平分线反复出现	圆 $BIC$ 单位圆

先比较下一步需要的点、线是否容易表达，再决定建系。知道三个方案的使用理由，比同时记住所有公式更有用。

参考：《复数法世界观与方法论》第 15–16 页；《复数法课程群聊发言稿》第 65–68 页。边长加权式及分支说明为本站补充，切线式按推导校正。