圆与接触关系

把圆写成方程后，点在圆上就是代入，圆与直线的交点就是联立。真正需要选择的是：求显式坐标，还是保留交点的约束。

一般圆与过原点的圆

圆心为 $u$ 、半径为 $R>0$ 的圆满足

(z-u)(\bar z-\bar u)=R^2.

也可以写成

C(z)=z\bar z-\bar u z-u\bar z+q=0, \qquad q=|u|^2-R^2\in\mathbb R.

因此， $z$ 与 $\bar z$ 的系数应互为共轭，且 $|u|^2-q>0$ 。等于 $0$ 时是点圆，小于 $0$ 时没有实平面上的点。

对点 $P$ ， $C(p)=|p-u|^2-R^2$ 是它对圆的幂。它是实数，可以据其正负判断内外。

圆过原点时 $q=0$ 。联立过原点的直线 $z=k\bar z$ ，可得到第二交点

\boxed{z=u+k\bar u.}

若右边为 $0$ ，说明直线在原点与圆相切，两个交点重合。这个“圆斜式”只需代入并提取一个根就能推导。

联立 $z-k\bar z=f$ 与 $z\bar z=1$ ，得到

z^2-fz-k=0.

若已知其中一个交点 $a$ ，另一个交点 $b$ 由根的乘积直接给出：

\boxed{b=-\frac ka.}

这是已知圆上一点再作割线时的常用公式。若两个交点都未知，不必急着写根式：可以保留

a+b=f,\qquad ab=-k,\qquad a\bar a=b\bar b=1

继续运算。真实交点存在的条件是 $|f|\le2$ ：小于 $2$ 时有两个交点，等于 $2$ 时相切，大于 $2$ 时直线不交单位圆。

二次方程只是消元结果。直线不交圆时，其复数根不一定满足原来的共轭关系，不能把解出的任何根都当成几何交点。

单位圆在 $A$ 处的切线为

\bar a z+a\bar z=2, \qquad z+a^2\bar z=2a.

切线的方向参数是 $-a^2$ ，与半径方向 $a^2$ 互为相反数。

圆外点 $P$ 的两切点连线是它对单位圆的极线：

\bar p z+p\bar z=2.

若两切点是 $A,B$ ，它们共同满足这条直线与单位圆的方程。切点不好显式求出时，就把 $a,b$ 设出来，保留这些约束。

两圆均把 $z\bar z$ 的系数规范为 $1$ ，相减后消掉二次项，得到根轴。因此，求两圆公共点，可以转成“一个圆与根轴”的交点问题。

当一个圆为单位圆，另一个为

z\bar z-\bar u z-u\bar z+q=0,

根轴为

\bar u z+u\bar z=q+1.

若 $u\ne0$ 且另一圆的半径为正，两圆相切等价于根轴与单位圆相切，即

\frac{|q+1|}{2|u|}=1.

同心圆须另行判断，不在这个除法公式的适用范围内。

若已知两圆在点 $T$ 相切，围绕“切点 + 公共切线”建圆系，通常比从三个复杂点重新求圆心更简洁。具体写法见圆的生成与坐标选择。

参考：《复数法世界观与方法论》第 5–8 页；《复数法课程群聊发言稿》第 14–20、23–24 页。方程、半径与交点存在条件均补充了推导或说明。