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圆的生成与坐标选择

一个圆不一定要由“先算圆心，再算半径”生成。若已知公共弦、切点或三条边，可以让这些已知关系直接出现在方程里。

共轴圆系：一个圆加一条直线​

设基准圆为单位圆，并把某条直线写成实值方程

L(z)=vˉz+vzˉ−d=0,d∈R,v≠0.L(z)=\bar v z+v\bar z-d=0,\qquad d\in\mathbb R,\quad v\ne0.

以它为与单位圆的根轴的圆系可写成

zzˉ−1+λL(z)=0,λ∈R.z\bar z-1+\lambda L(z)=0,\qquad \lambda\in\mathbb R.

当 LL 是公共弦所在直线时，这些圆都过弦的两端。要再经过点 PP，只需代入一次求 λ\lambda，无需重算圆心。

一般直线 LL 对应的半径平方为 1+λd+λ2∣v∣21+\lambda d+\lambda^2|v|^2，须大于 00 才是非退化圆；等于 00 为点圆，小于 00 则无实平面上的点。λ=0\lambda=0 给出基准单位圆本身，只有不同成员与基准圆之间才讨论根轴。

这里把直线写成实值形式很重要。若直接用 z−kzˉ−fz-k\bar z-f，就不能随意配一个实系数，否则得到的二次方程未必是圆。

已知切点的圆系​

在单位圆上的点 TT 处，切线实值方程为

Lt(z)=tˉz+tzˉ−2=0.L_t(z)=\bar t z+t\bar z-2=0.

于是

zzˉ−1+λLt(z)=0z\bar z-1+\lambda L_t(z)=0

给出在 TT 与单位圆有共同切线的圆。圆心为 −λt-\lambda t，半径为 ∣λ+1∣|\lambda+1|。其中 λ=−1\lambda=-1 是点圆，λ=0\lambda=0 是原单位圆；讨论两条不同非退化圆的相切时应排除这两种情况。

另一种写法更突出切点：若实值直线 LL 经过 TT，则

∣z−t∣2+μL(z)=0,μ∈R∖{0}|z-t|^2+\mu L(z)=0,\qquad \mu\in\mathbb R\setminus\{0\}

是一族在 TT 具有切线 LL 的圆。这就是课程中的“点圆 + 切线”。

三边生成外接圆​

设三角形三边的实值线性方程为 L1=0,L2=0,L3=0L_1=0,L_2=0,L_3=0，则二次曲线

αL2L3+βL3L1+γL1L2=0\alpha L_2L_3+\beta L_3L_1+\gamma L_1L_2=0

自动经过三个顶点，因为每个顶点都会使其中两条边的方程为零。

要让它成为外接圆，可取实系数，消掉 z2z^2 与 zˉ2\bar z^2 项，并保证 zzˉz\bar z 的系数不为零。整体倍数没有几何意义，所以只需求系数比例。优势在于保留三条边的结构，尤其适合轮换对称的图形。

右单位圆：移轴后仍能算共轭​

原单位圆上的点记为 tt，把原坐标 −1-1 移成新原点，令

z=t+1.z=t+1.

原圆就变成以 11 为圆心、半径为 11 的“右单位圆”：

∣z−1∣=1,zzˉ−z−zˉ=0.|z-1|=1,\qquad z\bar z-z-\bar z=0.

因此其上点满足

zˉ=zz−1.\bar z=\frac{z}{z-1}.

这不是 zˉ=1/z\bar z=1/z。若继续用旧的单位复数 tt 作基本量，则

z=t+1,zˉ=1+1t.z=t+1,\qquad \bar z=1+\frac1t.

过新原点与该点的直线，在 z≠0z\ne0 时方向参数为

k=t+11+1/t=t.k=\frac{t+1}{1+1/t}=t.

这样既让圆经过原点，又让直线斜率保持单项式，是右单位圆的实际用途。

另类单位圆​

选单位圆时，优先考虑哪个圆能提供最多可复用的关系：

  • 内切圆成为单位圆，三个切点是基本量，三角形顶点由切线交点得到。
  • 九点圆成为单位圆，垂足或中点关系可以先变成弦关系。
  • 圆 BICBIC 成为单位圆，适合内心、弧中点和同一条角平分线反复参与的图形。

后两种选择会改变原三角形外心、垂心的公式，不能继续套用“原外接圆是单位圆”的结论。三种内心系给出具体示范。

参考：《复数法世界观与方法论》第 7–8、11、14 页；《复数法课程群聊发言稿》第 19–22、37–38、58–61 页。圆系使用实值方程重新表述，补充了退化情形。