§5 对称算一半

先说明交换什么，再寻找不变的量。 这里的对称既可以是图形关于某条直线或某个点对称，也可以是交换两组基本量后，构造和结论保持相同。

例如，若交换 $b,c$ 会交换左右两侧的构造，而左侧目标量为 $F(b,c)$ ，证明

F(b,c)=F(c,b)

就可以同时处理两侧。实际的变换也可能是 $k\mapsto1/k$ 、 $b\mapsto-b$ 、 $a\mapsto t-a$ ，不能只看到左右图形就直接交换字母。

代数版：消去不对称的部分

适用情形是左右两侧独立生成几何量，要证明两侧结果相同。计算左侧后，优先找出已经对称的部分：

u=b+c,\qquad v=bc.

于是

b^2+c^2=u^2-2v,\qquad b^3+c^3=u^3-3uv.

假设左侧结果写为 $R(b,c)+H(u,v)$ ，下一步只需处理 $R$ 中不对称的部分，而不必展开整个式子。

这正是“对称算一半”与“溢出设变量”的配合：变量 $u,v$ 保留已经完成的工作，使还需要化简的部分更清楚。

结果不一定要解成显式坐标。若某个量 $t$ 满足

A_2(b,c)t^2+A_1(b,c)t+A_0(b,c)=0,

且各个系数都在交换 $b,c$ 后不变，那么左右结果满足相同的方程。

但相同的二次方程可能有两个根。要推出两侧的 $t$ 相等，还应确认原题的位置或范围条件选中了同一个根。例如，两侧都取某个区间内唯一的根，或都对应同一支连续构造。

这种情况下，即使表达式带根号，也没有必要把根号完全展开。目标是说明两侧选取的是同一个量。

若目标点由左右两侧共同生成，直接计算它可能需要两条复杂直线相交。可以先猜一个由“左侧 + 已知中间对象”生成的候选点 $Q$ ：

如果右侧的生成方式在对称变换下得到同一个 $Q$ ，就完成了原本需要两侧计算的证明。这里最关键的不是猜想本身，而是第 3、4 步。

要证直线 $EP,EQ$ 方向相同，可以把 $E$ 移到原点，再研究两点的位移或斜率。例如

P'=(x_P-x_E,y_P-y_E),\qquad Q'=(x_Q-x_E,y_Q-y_E).

在纵坐标或横坐标可能为零时，可以直接验证

(x_P-x_E)(y_Q-y_E)-(y_P-y_E)(x_Q-x_E)=0,

避免先分别求出两个长分式斜率。

结果与生成参数无关。 若左侧计算已经显示结果是定值，右侧同类构造也可能得到同一值。这是寻找不变量的另一种方式。

把总量拆成两部分。 若目标是 $P=Q$ ，且两者都有自然的左右分解，可以尝试证明对应部分相等。但这属于加强命题，应先判断是否成立，再正式验证。

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》第 76–82 页。变量变换、代数版和几何版流程据原文整理；二次根与唯一性条件作了明确说明。