跳到主要内容

§9 两个内心系

内心的边长加权坐标是正确的，但直接代入边长可能引入多个根号。本章换一个出发点：把内心看成两条角平分线的交点，用半角或弧中点作基本量。

原教材将半角参数与弧中点坐标称为“两个内心系”，再通过平移和同比缩放把它们连接起来。

半角参数：内心坐标有理化​

在常用坐标系中，取

A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1),A=(0,0),\qquad B=(-b,-1),\qquad C=(c,-1),

并在底角为锐角的这一构型下取 b,c>0b,c>0。令

t=tan⁡B2,s=tan⁡C2,2b=1t−t,2c=1s−s.t=\tan\frac B2,\qquad s=\tan\frac C2, \qquad 2b=\frac1t-t,\qquad 2c=\frac1s-s.

两条内角平分线为

BI: y−tx=−1+bt,CI: y+sx=−1+cs.BI:\ y-tx=-1+bt,\qquad CI:\ y+sx=-1+cs.

联立便得到内心 I=(i,j)I=(i,j)：

2i=t−s,2j=−(1+ts).\boxed{2i=t-s,\qquad 2j=-(1+ts).}

这组设置保留了 b,cb,c 对边和高的直观表达，同时让内心在 t,st,s 下有理。运算时可以混合使用两组变量，但要一起保留换算约束。

常用点与内心坐标​

原三角形的外心、垂心、重心为

O=(c−b2,−1+bc2),H=(0,bc−1),G=(c−b3,−23).O=\left(\frac{c-b}{2},-\frac{1+bc}{2}\right),\qquad H=(0,bc-1),\qquad G=\left(\frac{c-b}{3},-\frac23\right).

九点圆圆心记为 N9N_9，由 N9=(O+H)/2N_9=(O+H)/2 得

N9=(c−b4,bc−34).N_9=\left(\frac{c-b}{4},\frac{bc-3}{4}\right).

原稿第 156 页九点圆圆心一项的系数与中点定义不一致，此处按同页 O,HO,H 坐标取中点。

以 i,ji,j 作中间变量时，另有

b−c=−2ij1+2j,bc=−(1+j)2−i21+2j,b-c=-\frac{2ij}{1+2j},\qquad bc=-\frac{(1+j)^2-i^2}{1+2j}, O=(ij1+2j,j2−i22(1+2j)).O=\left(\frac{ij}{1+2j},\frac{j^2-i^2}{2(1+2j)}\right).

设 SS 是不含 AA 的弧 BCBC 的中点，NN 是含 AA 的弧 BCBC 的中点，则

S=(ij1+2j,j21+2j),N=(ij1+2j,−i21+2j).S=\left(\frac{ij}{1+2j},\frac{j^2}{1+2j}\right),\qquad N=\left(\frac{ij}{1+2j},-\frac{i^2}{1+2j}\right).

AA 对应的旁心为

JA=(s−1−t−12,−1+s−1t−12).J_A=\left(\frac{s^{-1}-t^{-1}}2,-\frac{1+s^{-1}t^{-1}}2\right).

在上面的非退化构型中，1+2j=−ts≠01+2j=-ts\ne0。若换成其他位置，先确认半角分支与坐标正负，不要机械替换一个符号。

鸡爪圆内心系：从弧中点出发​

取弧中点 SS 为原点，使圆 BICBIC 的半径为 11，记

B=(−m,n),C=(m,n),I=(α,β),JA=(−α,−β),B=(-m,n),\quad C=(m,n),\quad I=(\alpha,\beta),\quad J_A=(-\alpha,-\beta), α2+β2=1,m2+n2=1.\alpha^2+\beta^2=1,\qquad m^2+n^2=1.

下列式子在 n≠0n\ne0 时使用。由于原外接圆经过 S,B,CS,B,C，它的方程是

(ABC): x2+y2−yn=0.(ABC):\ x^2+y^2-\frac yn=0.

再用 A,S,IA,S,I 共线，可得

A=(αβn,β2n),O=(0,12n),A=\left(\frac{\alpha\beta}{n},\frac{\beta^2}{n}\right),\qquad O=\left(0,\frac1{2n}\right), H=(αβn,2n−α2n),G=(αβ3n,β2+2n23n),N=(0,1n).H=\left(\frac{\alpha\beta}{n},2n-\frac{\alpha^2}{n}\right),\qquad G=\left(\frac{\alpha\beta}{3n},\frac{\beta^2+2n^2}{3n}\right),\qquad N=\left(0,\frac1n\right).

这里 NN 仍表示另一弧中点，不是九点圆圆心。虽然用了四个字母，两个单位圆约束使图形仍只有两个实自由度。

两种自然换元​

令

u=B+C2,v=C−B2,u=\frac{B+C}{2},\qquad v=\frac{C-B}{2},

原教材的三角参数为

α=sin⁡v,β=cos⁡v,m=sin⁡u,n=cos⁡u.\alpha=\sin v,\quad\beta=\cos v,\quad m=\sin u,\quad n=\cos u.

与半角参数的代数换元（原稿称“羽羽换元”）则为

f2=(1+t2)(1+s2),f>0,f^2=(1+t^2)(1+s^2),\qquad f>0, α=s−tf,β=1+tsf,m=s+tf,n=1−tsf.\alpha=\frac{s-t}{f},\quad \beta=\frac{1+ts}{f},\quad m=\frac{s+t}{f},\quad n=\frac{1-ts}{f}.

由此可反解

β+n=2f,ts=β−nβ+n,2t=(m−α)f,2s=(m+α)f.\beta+n=\frac2f,\quad ts=\frac{\beta-n}{\beta+n},\quad 2t=(m-\alpha)f,\quad 2s=(m+\alpha)f.

原稿第 159 页换元框上方的一行交换了 m,nm,n，本页采用该页框内与 m=sin⁡u,n=cos⁡um=\sin u,n=\cos u 一致的版本。

回到 A(0,0)A(0,0)：平移与统一缩放​

鸡爪系中 AA 到 BCBC 的高为

λ=β2−n2n=4ts(1−ts)f.\lambda=\frac{\beta^2-n^2}{n} =\frac{4ts}{(1-ts)f}.

在该高为正的构型下，令

X=x−αβ/nλ,Y=y−β2/nλ.X=\frac{x-\alpha\beta/n}{\lambda},\qquad Y=\frac{y-\beta^2/n}{\lambda}.

则 AA 回到原点，底边回到 Y=−1Y=-1。变换方程时，代入反变换

x=λX+αβn,y=λY+β2n.x=\lambda X+\frac{\alpha\beta}{n},\qquad y=\lambda Y+\frac{\beta^2}{n}.

点的坐标与曲线方程使用相反方向的代换，不能混用。只有下一阶段需要常用框架时才“回家”；否则直接使用鸡爪系的简洁式子即可。

配套例题​

2024 CMO P2同时使用半角参数、鸡爪系与分阶段移轴；20240429 PCH使用 i,ji,j 表示外心；2024 ELMO P5展示半角参数在边角条件中的作用。

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》第 155–160 页。鸡爪系原始思路署名数之谜 @源，半角参整理署名 @RynW1988，回家变换署名 @cxy_MO，代数换元署名 @羽羽。