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2024 MiMO P1：两点坐标与共线恒等式

题目​

在锐角三角形 ABCABC 中，OO 为外心，γ\gamma 为外接圆。M,NM,N 分别为 γ\gamma 的劣弧 BCBC、优弧 BACBAC 的中点。设 BO∩AC=EBO\cap AC=E，BMBM 关于 ANAN 的对称直线为 ll，l∩ME=Kl\cap ME=K。求证：NK∥ABNK\parallel AB。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 66 页。

解析法解答​

先求点 KK​

原解答设

A(0,0),N(−2n,0),M(0,−2),O(−n,−1),AB:y=xb.A(0,0),\quad N(-2n,0),\quad M(0,-2),\quad O(-n,-1), \qquad AB:y=\frac xb.

令 B(−by1,−y1)B(-by_1,-y_1)，则

kBM=y1−2by1=1−2/y1b.k_{BM}=\frac{y_1-2}{by_1} =\frac{1-2/y_1}{b}.

因此

BM:y−1−2/y1bx=−2,BM:y-\frac{1-2/y_1}{b}x=-2, FK:y+1−2/y1bx=2,NK:y=x+2nb.FK:y+\frac{1-2/y_1}{b}x=2, \qquad NK:y=\frac{x+2n}{b}.

记

t=b−n1−1/y1,t=\frac{b-n}{1-1/y_1},

原解答得到

K(t,t+2nb).K\left(t,\frac{t+2n}{b}\right).

再求点 EE​

由 B,OB,O 的坐标，

kBO=y1−1by1−n,k_{BO}=\frac{y_1-1}{by_1-n}, BO:(by1−n)y−(y1−1)x=y1(n−b).BO:(by_1-n)y-(y_1-1)x=y_1(n-b).

另有 AC:y=−x/bAC:y=-x/b。将两式联立，记

e=y1(n−b)1+n/b−2y1,E(e,−eb).e=\frac{y_1(n-b)}{1+n/b-2y_1}, \qquad E\left(e,-\frac eb\right).

把共线条件化为恒等式​

因为 M(0,−2)M(0,-2)，所需斜率相等为

kEM=2−e/be=(t+2n)/b+2t=kKM.k_{EM}=\frac{2-e/b}{e} =\frac{(t+2n)/b+2}{t}=k_{KM}.

原解答将其改写为

be=1+n+bt.\frac be=1+\frac{n+b}{t}.

代入 e,te,t 的表达式，等价于

b+n−2by1=y1(n−b)+(n+b)(1−1/y1)b−n y1(n−b),b+n-2by_1 =y_1(n-b)+\frac{(n+b)(1-1/y_1)}{b-n}\,y_1(n-b),

即

b+n−2by1=y1(n−b)−y1(n+b)+n+b.b+n-2by_1=y_1(n-b)-y_1(n+b)+n+b.

两边恒等，故 K,E,MK,E,M 共线。

Notebook 中保存的校验记录

K,EK,E 坐标、两条斜率相等、最后的分式恒等式，四项均保存为 True。

来源：problem-202409-MiMO-P1.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。