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2024 北大暑期学堂 P2：等角轨迹与等轴双曲线

题目​

在锐角三角形 ABCABC 中，∠A\angle A 是最小的内角，O,HO,H 分别为外心、垂心。设 S,TS,T 满足四边形 BSCTBSCT 是矩形，且 ST∥AOST\parallel AO。DD 是 AA 关于 OO 的对称点。点 PP 满足 AA 在三角形 PBCPBC 内，且 ∠SPH=∠TPD\angle SPH=\angle TPD。求证：∠PBA=∠PCA\angle PBA=\angle PCA。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 36 页。

解析法解答​

证明整理自数之谜 @RynW1988。

把固定角差看成双曲线​

设

B(−1,0),C(1,0),M(0,0).B(-1,0),\quad C(1,0),\quad M(0,0).

原构型中的 B,CB,C，S,TS,T，D,HD,H 分别关于 MM 中心对称。对点 P(p,q)P(p,q)，固定的角差可以表示为

q/(p+1)+q/(p−1)1−q2/(p2−1)=d−1.\frac{q/(p+1)+q/(p-1)}{1-q^2/(p^2-1)}=d^{-1}.

整理为

τ:2dpq=p2−q2−1.\tau:2dpq=p^2-q^2-1.

这是等轴双曲线。原解答利用角差关系说明 A,B,C,D,H,TA,B,C,D,H,T 在 τ\tau 上，再由中心对称性得到 S∈τS\in\tau。

转动坐标轴​

为验证 P∈τP\in\tau，适当转动坐标轴，把双曲线写为

τ:x2−y2=a2.\tau:x^2-y^2=a^2.

令

S(s,t),T(−s,−t),H(m,n),D(−m,−n),P(p,q).S(s,t),\quad T(-s,-t),\quad H(m,n),\quad D(-m,-n),\quad P(p,q).

已知

s2−t2=a2,m2−n2=a2,s^2-t^2=a^2,\qquad m^2-n^2=a^2,

故

(s−m)(s+m)=(t−n)(t+n).(s-m)(s+m)=(t-n)(t+n).

将等角条件拆成两个比值​

由 ∠SPH=∠TPD\angle SPH=\angle TPD，写两角正切，得到

(q−n)(p−s)−(p−m)(q−t)(p−m)(p−s)+(q−n)(q−t)\frac{(q-n)(p-s)-(p-m)(q-t)}{(p-m)(p-s)+(q-n)(q-t)} =(q+t)(p+m)−(p+s)(q+n)(p+s)(p+m)+(q+t)(q+n).=\frac{(q+t)(p+m)-(p+s)(q+n)}{(p+s)(p+m)+(q+t)(q+n)}.

分别记为 f1/g1=f2/g2f_1/g_1=f_2/g_2，其中

f1=(m−s)q+(t−n)p+ns−mt,f_1=(m-s)q+(t-n)p+ns-mt, f2=(m−s)q+(t−n)p+mt−ns,f_2=(m-s)q+(t-n)p+mt-ns, g1=p2−(m+s)p+ms+q2−(n+t)q+nt,g_1=p^2-(m+s)p+ms+q^2-(n+t)q+nt, g2=p2+(m+s)p+ms+q2+(n+t)q+nt.g_2=p^2+(m+s)p+ms+q^2+(n+t)q+nt.

原解答改为比较和、差的比值：

f1−f2g1−g2=f1+f2g1+g2,\frac{f_1-f_2}{g_1-g_2}=\frac{f_1+f_2}{g_1+g_2},

即

−ns+mt(m+s)p+(n+t)q=(m−s)q+(t−n)pp2+q2+ms+nt.\frac{-ns+mt}{(m+s)p+(n+t)q} =\frac{(m-s)q+(t-n)p}{p^2+q^2+ms+nt}.

回到双曲线方程​

交叉相乘，利用两点都在双曲线上，原解答化为

(−ns+mt)(p2+q2)+a2(st−mn)(-ns+mt)(p^2+q^2)+a^2(st-mn) =(m+s)(t−n)p2+(n+t)(m−s)q2.=(m+s)(t-n)p^2+(n+t)(m-s)q^2.

混合项在 s2−t2=m2−n2s^2-t^2=m^2-n^2 下消去，剩下的关系给出

p2−q2=a2.p^2-q^2=a^2.

所以 P∈τP\in\tau。回到最初的角差轨迹，得到 ∠PBA=∠PCA\angle PBA=\angle PCA。

Notebook 中保存的校验记录

两角正切的展开式以及和差比值共四项保存为 True。最后代入双曲线约束的部分输出仍保留符号条件；上文按已有文字证明整理。

来源：problem-2024-PKU-Summer-P2.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。