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2024 ELMO P5：半角参数与三点共线

题目​

在三角形 ABCABC 中，AB<ACAB<AC 且 AB+AC=2BCAB+AC=2BC，MM 是 BCBC 的中点。设 PP 在 BABA 延长线上，QQ 在线段 ACAC 上，使得 MM 在 PQPQ 上。点 XX 与 CC 在 ABAB 异侧，满足 AX∥BCAX\parallel BC 且 AX=AP=AQAX=AP=AQ。BXBX 与三角形 BMQBMQ 的外接圆交于另一点 YY，CXCX 与三角形 CMPCMP 的外接圆交于另一点 ZZ。求证：A,Y,ZA,Y,Z 三点共线。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 179 页。

解析法解答​

用半角参数减少变量​

设 B(−1,0),C(1,0)B(-1,0),C(1,0)，并令

b−1=tan⁡B=2t1−t2,c−1=tan⁡C=2s1−s2.b^{-1}=\tan B=\frac{2t}{1-t^2}, \qquad c^{-1}=\tan C=\frac{2s}{1-s^2}.

因此

b=t−1−t2,c=s−1−s2.b=\frac{t^{-1}-t}{2},\qquad c=\frac{s^{-1}-s}{2}.

原题条件给出 ts=1/3,t>sts=1/3,t>s。于是

b+c=t+s,b−c=−2(t−s),b+c=t+s,\qquad b-c=-2(t-s), b=32s−12t,c=32t−12s.b=\frac32s-\frac12t,\qquad c=\frac32t-\frac12s.

由原解答中的角关系，

θ=π2−B−C2,cot⁡θ=tan⁡B−C2=t−s1+ts=34(t−s)=λ.\theta=\frac\pi2-\frac{B-C}{2}, \qquad \cot\theta=\tan\frac{B-C}{2} =\frac{t-s}{1+ts}=\frac34(t-s)=\lambda.

表示交点和点 XX​

使用 PM:y=−λ−1xPM:y=-\lambda^{-1}x、AB:y=b−1(x+1)AB:y=b^{-1}(x+1)，原解答得到

P(t−1−3tt−1+t,4t−1+t),P\left(\frac{t^{-1}-3t}{t^{-1}+t},\frac4{t^{-1}+t}\right), Q(−s−1+3ss−1+s,4s−1+s).Q\left(\frac{-s^{-1}+3s}{s^{-1}+s},\frac4{s^{-1}+s}\right).

两边交点为

A(−2(t−s)t+s,2t+s).A\left(-\frac{2(t-s)}{t+s},\frac2{t+s}\right).

又有

∣AP∣=12(t−1+t)(4t−1+t−2t+s)=t−st+s.|AP|=\frac12(t^{-1}+t) \left(\frac4{t^{-1}+t}-\frac2{t+s}\right) =\frac{t-s}{t+s}.

故原解答给出的点 XX 为

X(−3(t−s)t+s,2t+s).X\left(-\frac{3(t-s)}{t+s},\frac2{t+s}\right).

相应直线为

BX:y=x+12s−t,CX:y=x−1s−2t.BX:y=\frac{x+1}{2s-t}, \qquad CX:y=\frac{x-1}{s-2t}.

求两个圆上的交点​

令 Y=BX∩⊙BMQY=BX\cap\odot BMQ、Z=CX∩⊙CMPZ=CX\cap\odot CMP，取题目指定的另一交点。按 notebook 输入中的圆方程，

⊙BMQ:x2+x+y2−3sy=0,\odot BMQ:x^2+x+y^2-3sy=0, ⊙CMP:x2−x+y2−3ty=0.\odot CMP:x^2-x+y^2-3ty=0.

前一圆与 BXBX 联立，利用 x+1=(2s−t)yx+1=(2s-t)y，可写成

x(2s−t)+y−3s=0.x(2s-t)+y-3s=0.

原解答得到

Y(−2(1−3s2)(2s−t)2+1,5s−t(2s−t)2+1),Y\left(-\frac{2(1-3s^2)}{(2s-t)^2+1}, \frac{5s-t}{(2s-t)^2+1}\right), Z(2(1−3t2)(s−2t)2+1,5t−s(s−2t)2+1).Z\left(\frac{2(1-3t^2)}{(s-2t)^2+1}, \frac{5t-s}{(s-2t)^2+1}\right).

两条斜率化为同一式子​

例如

kAY=(5s−t)/(4s2+t2−1/3)−2/(t+s)(−2+6s2)/(4s2+t2−1/3)+2(t−s)/(t+s).k_{AY}= \frac{(5s-t)/(4s^2+t^2-1/3)-2/(t+s)} {(-2+6s^2)/(4s^2+t^2-1/3)+2(t-s)/(t+s)}.

记

f=2−3(t2+s2),g=2(t−s)(t2+s2−43).f=2-3(t^2+s^2),\qquad g=2(t-s)\left(t^2+s^2-\frac43\right).

按原 notebook 保存的结果，

kAY=fg=kAZ.k_{AY}=\frac fg=k_{AZ}.

所以 A,Y,ZA,Y,Z 共线。

原 Text 在圆 BMQBMQ 的一次项系数处混用了 −2qy-2qy 与 q=3sq=3s，并有一处将 f/gf/g 写成 t/gt/g。这里按对应 Input 中的 −3sy-3sy 和 f/gf/g 整理；交点、两条斜率以及共线判断均有保存的 True 结果。

来源：problem-2024-ELMO-P5.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。