2023 北大秋令营 P3：三线圆系与相切

题目

四边形 $ABCD$ 内接于以 $O$ 为圆心的圆 $\Omega$。设 $AB\cap CD=E$、$AD\cap BC=F$、$AC\cap BD=G$。$AC,BD$ 的中垂线分别与 $EF$ 的中垂线交于 $H,I$。三角形 $HIO$ 的外接圆和 $\Omega$ 的公共弦分别与 $AC,BD$ 交于 $J,K$。已知 $EF$ 的中垂线与 $\Omega$ 相切，求证：三角形 $GJK$ 的外接圆与 $\Omega$ 相切。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 42 页。

解析法解答

用中点共线建立对称关系

记 $\Omega=\odot O$，取 $\odot O:x^2+y^2=1$，设 $G(0,a)$。原解答给出

$$EF:y=a^{-1},\qquad L(1,a^{-1}),$$

其中 $L$ 为 $EF$ 的中点。令两条直线 $AC,BD$ 为

$$y-a=k_ix\qquad(i=1,2).$$

代入单位圆后，交点横坐标满足

$$(k_i^2+1)x^2+2ak_ix+a^2-1=0.$$

因而两弦中点 $M,N$ 的坐标统一表示为

$$\left(-\frac{k_ia}{1+k_i^2},\frac a{1+k_i^2}\right).$$

将 $M,N,L$ 共线写成行列式，并化简为

$$\begin{vmatrix} a+k_1&1+k_1^2+ak_1\\ a+k_2&1+k_2^2+ak_2 \end{vmatrix}=0.$$

记 $\alpha=k_1+k_2,\beta=k_1k_2$。行列式为

$$\bigl(a(a+\alpha)+\beta-1\bigr)(k_2-k_1)=0,$$

从而

$$a\alpha+\beta=1-a^2.\tag{1}$$

用三条直线构造圆 $GJK$

原文本略去求 $H,I$ 的行列式细节，后续计算使用的直线为

$$l_1=\alpha y-(\beta-1)x+\beta, \quad l_2=y-k_1x-a, \quad l_3=y-k_2x-a.$$

其中 $l_1=0$ 为 $JK$，其余两条为 $AC,BD$。按 notebook 输入构造

$$g(x,y)=\lambda_1l_1l_2+\lambda_2l_1l_3+\lambda_3l_2l_3.$$

记二次部分为 $Ax^2+Bxy+Cy^2$，则

$$A=(\lambda_1k_1+\lambda_2k_2)(\beta-1)+\lambda_3\beta,$$ $$C=(\lambda_1+\lambda_2)\alpha+\lambda_3,$$ $$-B=\alpha(\lambda_1k_1+\lambda_2k_2) +(\beta-1)(\lambda_1+\lambda_2)+\lambda_3\alpha.$$

要求 $A=C,B=0$。原解答取

$$\lambda_1=1,\quad\lambda_2=-1,\quad\lambda_3=k_2-k_1,$$

约去公共因子后，圆方程可写为

$$\widetilde g(x,y)=xl_1+l_2l_3=0.$$

只计算一次项和常数项

不必完全展开。首先

$$\widetilde g(0,0)=a^2.$$

$\widetilde g(0,y)$ 的一次项是 $-2ay$；$\widetilde g(x,0)$ 的一次项由式 $(1)$ 化为

$$\bigl(\beta+a(k_1+k_2)\bigr)x=(1-a^2)x.$$

所以

$$\odot GJK:x^2+y^2+(1-a^2)x-2ay+a^2=0.$$

用根轴到圆心的距离证明相切

与单位圆相减，根轴为

$$(1-a^2)x-2ay+a^2+1=0.$$

除以 $1+a^2$ 后，

$$\frac{1-a^2}{1+a^2}x-\frac{2a}{1+a^2}y+1=0.$$

其法向量长度为 $1$，根轴到原点的距离也是 $1$，故根轴与单位圆相切。

原文本在圆 $OHI$ 的系数说明和后续 $JK$ 的常数项之间有记号不一致；本页的三线方程及圆系按已保存的 Input 定义整理。原文漏写的 $l_1l_2,l_1l_3$ 乘积也据该 Input 补全。

来源：problem-2023-PKU-Autumn-P3.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。