2018 IMO P1：用系数对称性证明平行

题目

$\Gamma$ 是锐角三角形 $ABC$ 的外接圆。$D,E$ 分别是线段 $AB,AC$ 上的点，满足 $AD=AE$。$BD,CE$ 的垂直平分线分别与 $\Gamma$ 的劣弧 $AB,AC$ 交于 $F,G$。求证：直线 $DE$ 与 $FG$ 平行或重合。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 83 页。

解析法解答

建系与外接圆方程

设

$$A(0,0),\quad D(-d,-1),\quad E(d,-1), \quad B\left(-b,-\frac bd\right), \quad C\left(c,-\frac cd\right).$$

三角形 $ABC$ 的外接圆用行列式表示为

$$\begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ 0&0&0&1\\ b^2(1+d^{-2})&-b&-b/d&1\\ c^2(1+d^{-2})&c&-c/d&1 \end{vmatrix}=0.$$

按含原点的一行展开，得到

$$\begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y\\ b^2(1+d^{-2})&-b&-b/d\\ c^2(1+d^{-2})&c&-c/d \end{vmatrix}=0.$$

继续展开为

$$\frac{2bc}{d}(x^2+y^2) +\frac{bc}{d}(b-c)(1+d^{-2})x +bc(b+c)(1+d^{-2})y=0.$$

约去公共因子，圆方程为

$$x^2+y^2+\frac{(b-c)(1+d^2)}{2d^2}x +\frac{(b+c)(1+d^2)}{2d}y=0.\tag{1}$$

联立 $DB$ 的中垂线

由 $D(-d,-1)$ 与 $B(-b,-b/d)$，中垂线方程为

$$2\left(\frac bd-1\right)y+2(b-d)x =1-\frac{b^2}{d^2}+d^2-b^2.$$

解出 $x$：

$$x=-\frac{(b+d)(1+d^2)}{2d^2}-\frac yd.\tag{2}$$

记

$$S=\frac{1+d^2}{2d^2}, \qquad x=-S(b+d)-\frac yd.$$

接下来只需考察式 $(1),(2)$ 联立所得的纵坐标方程是否关于 $b,c$ 对称。

不求根，只比较系数

将式 $(2)$ 代入圆方程，得到

$$A_2y^2+A_1y+A_0=0,$$

其中

$$A_2=1+\frac1{d^2},$$ $$A_1=Sd(b+c)+\frac{S(b+c+2d)}d,$$ $$A_0=S^2\bigl[d^2+bc+(b+c)d\bigr].$$

三个系数都在交换 $b,c$ 时保持不变。原解答据此比较两侧构造的纵坐标，得到 $FG$ 平行于 $x$ 轴。

原 notebook 已在文字中注明：二次项系数应为 $1+d^{-2}$，手稿中的 $d^{-2}$ 少了常数 $1$；此处采用 notebook 的修正值。

Notebook 中保存的校验记录

$x$ 的代换、三个系数公式以及三个系数关于 $b,c$ 的对称性，均各自保存了 True 结果。

来源：problem-2018-IMO-P1.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。