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2016 CMO P2：圆系与极点坐标

题目​

在锐角三角形 ABCABC 中，AB>ACAB>AC，O,IO,I 分别为外心、内心，内切圆与 BCBC 切于 DD。直线 AOAO 与 BCBC 交于 XX，AYAY 是 BCBC 上的高。外接圆在 B,CB,C 处的切线交于 LL，PQPQ 是经过 II 的外接圆直径。求证：A,D,LA,D,L 三点共线，当且仅当 P,X,Y,QP,X,Y,Q 四点共圆。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 186 页。

解答状态​

解答待添加。

Notebook 中数之谜 @DSK 的文本保存了以下圆系、极点和参数化步骤，但没有给出 AZ,Z,YcAZ,Z,Y_c 与题目中各点的几何对应，也没有把最后的参数关系接回题目所要求的充要条件。因此以下仅作为未完成的原始推导保留，不能视为本题的完整证明。

Notebook 中的未完成推导​

设圆方程与弦方程​

取 AA 为原点、AZAZ 为 yy 轴。设

⊙O:x2+y2−2ax−2y=0,O(a,1).\odot O:x^2+y^2-2ax-2y=0,\qquad O(a,1).

AZAZ 与圆的另一交点为 K(0,2)K(0,2)。利用相应弧中点性质，OK⊥BCOK\perp BC；因为 kOK=−1/ak_{OK}=-1/a，可设

BC:y=ax+b.BC:y=ax+b.

圆在 AA 处的切线为 l:y=−axl:y=-ax，它与 BCBC 交于

L0(−b2a,b2).L_0\left(-\frac b{2a},\frac b2\right).

记 Yc=(0,yc)Y_c=(0,y_c)。由 L0,O,YcL_0,O,Y_c 共线，得到

yc(2a2+b)=b(a2+1).(1)y_c(2a^2+b)=b(a^2+1).\tag{1}

表示垂足和极点​

由 ZD⊥BCZD\perp BC，原解答写出

ZD:y=−xa+1.ZD:y=-\frac xa+1.

与 BCBC 联立，

D(a(1−b)a2+1,a2+ba2+1).D\left(\frac{a(1-b)}{a^2+1}, \frac{a^2+b}{a^2+1}\right).

设 L=(xL,yL)L=(x_L,y_L) 为 BCBC 关于圆 OO 的极点。其极线为

(xL−a)x+(yL−1)y−axL−yL=0.(x_L-a)x+(y_L-1)y-ax_L-y_L=0.

与 BC:ax−y+b=0BC:ax-y+b=0 比较，得到

L(ab−2aa2+b−1,2a2+ba2+b−1).L\left(\frac{ab-2a}{a^2+b-1}, \frac{2a^2+b}{a^2+b-1}\right).

因此 A,D,LA,D,L 共线对应于

a2+ba(1−b)=2a2+bab−2a.(2)\frac{a^2+b}{a(1-b)} =\frac{2a^2+b}{ab-2a}.\tag{2}

利用圆系限制 ycy_c​

取圆与直线的线性组合：

⊙Γ1:(x2+y2−2ax−2y)+2(ax−y+b)=0⟺x2+y2−4y+2b=0.\begin{aligned} \odot\Gamma_1: &(x^2+y^2-2ax-2y)+2(ax-y+b)=0\\ &\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y+2b=0. \end{aligned}

其与 yy 轴的交点纵坐标满足

y2−4y+2b=0.y^2-4y+2b=0.

令 ycy_c 是其中一根，则

b=2yc−yc22.b=2y_c-\frac{y_c^2}{2}.

式 (1)(1) 给出

a2b=1−yc2yc−b.\frac{a^2}{b}=\frac{1-y_c}{2y_c-b}.

将 bb 的表达式代入，化为

a2b=2(1−yc)yc2.\frac{a^2}{b}=\frac{2(1-y_c)}{y_c^2}.

原文本至此直接宣称命题得证，但仍缺少 Z,YcZ,Y_c 的几何定义、式 (1)(1) 与四点共圆条件的联系，以及与式 (2)(2) 的等价性论证。这些缺口尚未补齐。

Notebook 中保存的校验记录

L0,D,LL_0,D,L 三个坐标公式保存了 True 比较结果；其中极点横坐标的分子明确采用 ab−2aab-2a。

来源：problem-2016-CMO-P2.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。