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2012 IMO P5（NB 原标）：用定点构造比较距离

题目​

完整题干待添加。

本页名称沿用 problem-2012-IMO-P5.nb 的原标。教材第 87 页虽标“12IMOP5”，却重复了第 54 页标为“14IMOP3”的凸四边形题干；该题干与本 Notebook 的点名及 ML=MKML=MK 结论不匹配，故不将它配在此处。重复题干见教材补充题目。

Notebook 中的局部推导​

以下保留 NB 已有文本中的计算。原文本没有完整定义 A,B,C,M,K,LA,B,C,M,K,L 的几何构造，也未说明局部结论如何对应整题；解答待添加。

表示圆和动点​

按原解答使用其坐标系，圆心 BB 对应的圆为

BC2=1+b2,⊙B:x2−2bx+y2=1.BC^2=1+b^2, \qquad \odot B:x^2-2bx+y^2=1.

设

X(0,m),AX:y=bmx+m,K(−k,h).X(0,m),\qquad AX:y=bmx+m, \qquad K(-k,h).

因为 K∈AXK\in AX，

h=m(1−kb).h=m(1-kb).

构造只依赖 XX 的点 NN​

在 yy 轴上取 N(0,n)N(0,n)，使 NK⊥BKNK\perp BK。由

kBK=−hb+k,kNK=n−hk,k_{BK}=-\frac h{b+k},\qquad k_{NK}=\frac{n-h}{k},

垂直条件为

−h(n−h)k(b+k)=−1.-\frac{h(n-h)}{k(b+k)}=-1.

结合 KK 在圆上，原解答得到

nh=1−bk.nh=1-bk.

再与 h=m(1−kb)h=m(1-kb) 比较，得

n=1m.n=\frac1m.

因此 NN 的位置与参数 kk 无关。

比较两段长度​

计算

NK2=k2+(h−n)2=k2+h2+n2−2hn=1−2bk+n2−2+2bk=n2−1.\begin{aligned} NK^2 &=k^2+(h-n)^2\\ &=k^2+h^2+n^2-2hn\\ &=1-2bk+n^2-2+2bk\\ &=n^2-1. \end{aligned}

原文本同理写出对另一交点 LL 有 NL⊥BLNL\perp BL 且 NL=NKNL=NK，并据此宣称 ML=MKML=MK。但点 MM 的定义以及最后一步的几何联系没有保存在该文本中，尚不能据此认定整题证明完整。

Notebook 中保存的校验记录

以下三项保存为 True：

hn=1−bk,n=1m,NK2=n2−1.hn=1-bk,\qquad n=\frac1m,\qquad NK^2=n^2-1.

来源：problem-2012-IMO-P5.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。