§11.5 雪佛点、映位原点与反演笔记

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》§11.24–11.25，PDF 第 306–308 页；并收录第 271–272 页的“读题 Log”与“反演学习笔记”。原稿署名：数之谜 @RynW1988；第 306 页另署“数之谜 @迷之钓鱼”。

前两节沿用 $A=(0,0),B=(-b,-1),C=(c,-1)$，展示三线坐标、重心坐标转成笛卡尔坐标的过程。原稿指出，转换结果不一定简洁；本页保留可代入的组成式，合并整页的重复展开结果。

雪佛点 $X(21)$

来源：§11.24，PDF 第 306 页。

定义。 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ABI$ 的欧拉线交点；原稿说明，$\triangle BCI$、$\triangle CAI$ 的欧拉线也经过此点。

原稿的另一种描述是：内切圆切点三角形的垂心关于参考三角形的等角共轭点。

三线坐标

$$\boxed{ \frac1{\cos B+\cos C}: \frac1{\cos C+\cos A}: \frac1{\cos A+\cos B}. }$$

若用 $a_s,b_s,c_s$ 表示三边长，原稿也写成

$$f(a_s,b_s,c_s):f(b_s,c_s,a_s):f(c_s,a_s,b_s), \qquad f(a_s,b_s,c_s)=\frac{b_s+c_s-a_s}{b_s+c_s}.$$

这里添加下标 $s$，避免边长与当前标架中的参数 $b,c$ 混淆。

转成当前标架

记三线分量为 $(h:u:v)$，原稿代入

$$\frac1h=\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}},$$ $$\frac1u=\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} +\frac{1-bc}{\sqrt{(1+b^2)(1+c^2)}},$$ $$\frac1v=\frac{b}{\sqrt{1+b^2}} +\frac{1-bc}{\sqrt{(1+b^2)(1+c^2)}}.$$

令

$$S=(b+c)h+\sqrt{1+c^2}\,u+\sqrt{1+b^2}\,v.$$

则

$$\boxed{ X(21)=\left( \frac{-b\sqrt{1+c^2}\,u+c\sqrt{1+b^2}\,v}{S}, -\frac{\sqrt{1+c^2}\,u+\sqrt{1+b^2}\,v}{S} \right). }$$

这组式子对应原稿先确定三线分量、再调用转换公式的印刷计算。它保留了可直接代入的形式，无需抄录展开后的多层根式。

映位原点 $X(79)$

来源：§11.25，PDF 第 307–308 页。

定义。 $A'$ 为内心 $I$ 关于 $BC$ 的反射点，循环定义 $B',C'$，则 $AA',BB',CC'$ 的交点为映位原点 $X(79)$。原稿将它重述为内心反射三角形与参考三角形的透视中心。

三线坐标与重心坐标

原稿列出的三线坐标为

$$\boxed{ \frac1{1+2\cos A}:\frac1{1+2\cos B}:\frac1{1+2\cos C}. }$$

重心坐标为

$$\Phi(a_s,b_s,c_s):\Phi(b_s,c_s,a_s):\Phi(c_s,a_s,b_s),$$

其中

$$\Phi(a_s,b_s,c_s)=\frac1{b_s^2+c_s^2-a_s^2+b_sc_s}.$$

重心转换的组成式

在当前标架中，按 $BC,CA,AB$ 的次序取边长

$$a_s=b+c,\qquad b_s=\sqrt{1+c^2},\qquad c_s=\sqrt{1+b^2}.$$

记

$$h=\frac1{b_s^2+c_s^2-a_s^2+b_sc_s},$$ $$u=\frac1{c_s^2+a_s^2-b_s^2+c_sa_s},\qquad v=\frac1{a_s^2+b_s^2-c_s^2+a_sb_s}.$$

代入重心坐标转换通式，得到

$$\boxed{X(79)=\left(\frac{-bu+cv}{h+u+v},-\frac{u+v}{h+u+v}\right).}$$

这里保留原稿坐标定义与转换过程，不展开为整页有根式的分子、分母。

:::caution 原稿的字母次序与转换输入待区分 第 307 页程序先设 $X=BC,Y=AB,Z=AC$，因此其中的 $d,e,f$ 分别对应顶点 $A,C,B$ 的重心权重。按本页统一的顶点次序，应取 $(h:u:v)=(d:f:e)$。第 308 页却按 $(d:e:f)$ 代入，且将横坐标分子写成 $-bu+cu$；本页按第 274 页的重心转换通式使用 $-bu+cv$。原稿第 308 页的大型展开结果不作为可直接套用的坐标公式。 :::

原作者说明，映位原点属于内心系统的巧合点，用 $i,j$ 可能更自然；本节仍用 $b,c$，是为了展示重心坐标转换的过程。

原附录一：反演读题记录

来源：PDF 第 271 页，“读题 Log”，数之谜 @RynW1988。

原稿列出的已读例题记录为：22 北夏 P7、18 RMM P6、23 IGO 高级组 P5、19 ISL G6、07 ISL G3、08 ISL G3、11 ISL G4、原创 22、北夏 P7、15 IMO P3、14 ISL P4。编号沿用原稿，未在此重新考订。

以下是原作者对所读例题的经验记录，涉及具体例题的判断依赖原图条件。

1. 判断反演的作用时，应看像图还剩几个圆；原作者以剩下两个圆作为便于继续解析处理的情形。
2. 直线与圆相切通常比两圆相切更容易处理。
3. 若像图超过两个圆，但存在对称性，可利用对称结构减少实际计算对象。
4. 反演可用于整理复杂的角条件；若像图容易画出、反演关系熟悉，可先反演再建系。
5. 即使没有多个圆，反演也可能改变点阵的凹凸形态，产生等腰梯形或正方形等便于处理的结构。
6. 一次反演后角条件仍复杂时，可考虑换方向再次反演。
7. 对原稿所称的“伊朗”反演，可以再作比例为 $1/2$ 的位似，使点 $B$ 对应到 $AC$ 的中点 $E$；具体点的对应依赖该例原图。
8. 原稿记录了“内切圆反演、外接圆变九点圆”的套路；使用时须结合具体的反演半径与后续变换。
9. 原作者将反演的主要作用概括为整理角条件与减少圆的数量。若题目本来只有直线和一个圆，直接解析的角条件往往也能处理。
10. 遇到“角加角等于角”的条件时，反演若能把角关系集中起来，可能省去解析中的通分。
11. 原作者认为“伊朗反演”有助于保留原图并理解对应关系。
12. 若并不需要减少圆的数量，也可以直接建系；原稿在此举出 24 CTST P17。

第 7、8、11 条是原稿的简短提示，本页不把它们扩写成脱离原图条件的一般定理。

原附录二：反演学习笔记

来源：PDF 第 272 页，数之谜 @RynW1988。

定义与距离关系

给定反演中心 $A$ 和反演半径 $r>0$，同一射线上的 $P,P'$ 满足

$$AP\cdot AP'=r^2,$$

则两点互为反演点。原稿把 $r^2$ 称为反演幂，把这项对应称为反演变换或反演映射。

反演中心没有有限的反演点；经过反演中心的直线作为点集保持不变；反演基圆上的点均为不动点。原稿分别使用“二重线”“二重点”的名称。

对于两对反演点，原稿强调距离结论应代入

$$P'Q'=\frac{r^2\,PQ}{AP\cdot AQ}$$

计算，不能直接假设距离或长度比保持不变。原稿也提醒可利用同一直线上的交比。

两对反演点与图形对应

当 $A,P,Q$ 不共线时，原稿列出：$\triangle APQ$ 与 $\triangle AQ'P'$ 相似；$P,Q,P',Q'$ 共圆，且该圆与反演基圆正交。

直线与圆的对应关系为：

原图形	反演后的图形
不经过反演中心的直线	经过反演中心的圆，去掉反演中心
经过反演中心的圆，去掉反演中心	不经过反演中心的直线
不经过反演中心的圆	不经过反演中心的圆

保角、正交与相切

原稿用交点处的切线定义圆或曲线之间的夹角，取不大于直角的夹角；夹角为直角时称两图形正交。

在反演中心以外，反演保持相交直线、圆或曲线的夹角；正交关系随之保持。相切圆或相切的直线与圆，反演后仍相切；当切点恰为反演中心时，原稿列出的像图为两条平行线。

校对说明：原稿“我的总结”把平行、垂直、夹角、相切概括为“保一切”。其中保角应理解为对应交点处的切线夹角；不能据此断言平行直线一般仍映成平行直线。

根轴记录

原稿最后列出：一个圆、它的反演圆与反演基圆三圆共根轴。这里沿用相关圆及根轴存在的非退化情形；原页仅列性质，未附证明。