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§11.2 巧合线与 Poncelet 点

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》§11.9–11.12，PDF 第 279–289 页。原章作者：数之谜 @RynW1988、@科学之杨。

除 Poncelet 节另行建系外，沿用 A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1),O=(m,n)A=(0,0),B=(-b,-1),C=(c,-1),O=(m,n)。

GOE P10：陪位重心与圆锥曲线​

来源：PDF 第 279–283 页。

题目。 在 △ABC\triangle ABC 中，垂心为 HH，外心为 OO。BH,CHBH,CH 分别与 CO,BOCO,BO 交于 X,YX,Y。L,M,NL,M,N 分别为 XY,AB,ACXY,AB,AC 的中点。过 B,C,M,N,OB,C,M,N,O 的圆锥曲线为 Γ\Gamma；OLOL 再次交 Γ\Gamma 于 QQ，AQAQ 再次交 Γ\Gamma 于 PP。证明 AP⊥OPAP\perp OP。

1. 求中点与相关直线​

M=(−b2,−12),N=(c2,−12),H=(0,bc−1).M=\left(-\frac b2,-\frac12\right),\qquad N=\left(\frac c2,-\frac12\right),\qquad H=(0,bc-1). BH: y−cx=bc−1,CH: y+bx=bc−1,BO: (b+c)y−(1−bc)x=−c(1+b2),CO: (b+c)y+(1−bc)x=−b(1+c2).\begin{aligned} BH&:\ y-cx=bc-1,\\ CH&:\ y+bx=bc-1,\\ BO&:\ (b+c)y-(1-bc)x=-c(1+b^2),\\ CO&:\ (b+c)y+(1-bc)x=-b(1+c^2). \end{aligned}

联立得到

X=(−2bc2+b2c−c1+c2,−bc3+b2c2−bc+11+c2),X=\left(-\frac{2bc^2+b^2c-c}{1+c^2}, -\frac{bc^3+b^2c^2-bc+1}{1+c^2}\right), Y=(bc2+2b2c−b1+b2,−b2c2+b3c−bc+11+b2).Y=\left(\frac{bc^2+2b^2c-b}{1+b^2}, -\frac{b^2c^2+b^3c-bc+1}{1+b^2}\right).

令 L=(xL,yL)=(X+Y)/2L=(x_L,y_L)=(X+Y)/2。按第 281 页程序结果整理为

xL=5mn2+(6m−2m3)n−m3+2mm2+n2,x_L=\frac{5mn^2+(6m-2m^3)n-m^3+2m}{m^2+n^2}, yL=4n3+(5−2m2)n2+(2−2m2)n−m2m2+n2.y_L=\frac{4n^3+(5-2m^2)n^2+(2-2m^2)n-m^2}{m^2+n^2}.

因此

kOL=3n2+(2−2m2)n−m24mn−2m3+2m.k_{OL}=\frac{3n^2+(2-2m^2)n-m^2}{4mn-2m^3+2m}.

校对说明：第 281 页手工展开的 xLx_L 中间行与紧接的程序结果不同；这里采用与前页 X,YX,Y 中点式一致的程序结果。

2. 辨认陪位重心​

陪位重心

K=(−m(1+n)1+3n−2m2,−n−m21+3n−2m2)K=\left(-\frac{m(1+n)}{1+3n-2m^2}, -\frac{n-m^2}{1+3n-2m^2}\right)

满足 kOK=kOLk_{OK}=k_{OL}。再验证 K∈ΓK\in\Gamma，便可在题设非退化情形认定 Q=KQ=K。

3. 用目标垂直关系设出候选点​

设 AQ:y=kxAQ:y=kx，则

k=n−m2m(1+n).k=\frac{n-m^2}{m(1+n)}.

若 P=(p,kp)P=(p,kp) 满足 AP⊥OPAP\perp OP，必须有

p=m+kn1+k2=m(1+n)1+m2.p=\frac{m+kn}{1+k^2}=\frac{m(1+n)}{1+m^2}.

4. 写出圆锥曲线并验证​

原稿先将过 B,C,M,NB,C,M,N 的圆锥曲线写成

−λ(y+12)(y+1)+(by−x)(cy+x)=0.-\lambda\left(y+\frac12\right)(y+1)+(by-x)(cy+x)=0.

代入 O=(m,n)O=(m,n)，得到

λ=−2(m2+n2)n+1.\lambda=-\frac{2(m^2+n^2)}{n+1}.

故

Γ:2(m2+n2)n+1(y+12)(y+1)−(2n+1)y2−2mxy−x2=0.\Gamma:\quad \frac{2(m^2+n^2)}{n+1}\left(y+\frac12\right)(y+1) -(2n+1)y^2-2mxy-x^2=0.

分别代入 Q=KQ=K 与

P=(m(1+n)1+m2,n−m21+m2)P=\left(\frac{m(1+n)}{1+m^2},\frac{n-m^2}{1+m^2}\right)

均得到左端为 00。按题设第二交点的唯一性，候选点即为 PP，从而 AP⊥OPAP\perp OP。

西姆松线​

来源：§11.10，PDF 第 284–286 页。

定义。 P=(x0,y0)P=(x_0,y_0) 在 △ABC\triangle ABC 的外接圆上，PP 向三边所在直线作垂线，三个垂足共线，其直线称为西姆松线。

令

U=my0−nx0,V=ny0+mx0.U=my_0-nx_0,\qquad V=ny_0+mx_0.

原稿的简洁表达为

U(x−x0)+V(y+1)=0.\boxed{U(x-x_0)+V(y+1)=0.}

当 V≠0V\ne0 时，记 ks=U/Vk_s=U/V，即

y+ksx=−1+ksx0.y+k_sx=-1+k_sx_0.

两个系数也可记作行列式：

U=∣mx0ny0∣,V=∣m−y0nx0∣.U=\begin{vmatrix}m&x_0\\n&y_0\end{vmatrix},\qquad V=\begin{vmatrix}m&-y_0\\n&x_0\end{vmatrix}.

印刷推导中的垂足公式​

点 P=(x0,y0)P=(x_0,y_0) 到直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 的垂足为

(b2x0−aby0−aca2+b2,−abx0+a2y0−bca2+b2).\left( \frac{b^2x_0-ab y_0-ac}{a^2+b^2}, \frac{-abx_0+a^2y_0-bc}{a^2+b^2} \right).

因此 PP 在 AB,ACAB,AC 上的垂足分别为

D=(b2x0+by01+b2,bx0+y01+b2),D=\left(\frac{b^2x_0+by_0}{1+b^2},\frac{bx_0+y_0}{1+b^2}\right), E=(c2x0−cy01+c2,−cx0+y01+c2).E=\left(\frac{c^2x_0-cy_0}{1+c^2},\frac{-cx_0+y_0}{1+c^2}\right).

DEDE 的斜率化简为

k=−my0−nx0ny0+mx0=−ks.k=-\frac{my_0-nx_0}{ny_0+mx_0}=-k_s.

其截距为

t=−y02−2mx0y0+(2n+1)x022(ny0+mx0).t=-\frac{y_0^2-2mx_0y_0+(2n+1)x_0^2}{2(ny_0+mx_0)}.

利用 x02+y02=2mx0+2ny0x_0^2+y_0^2=2mx_0+2ny_0，得到

(my0−nx0)x+(ny0+mx0)y+(n−mx0)y0+(nx0+m)x0=0.(my_0-nx_0)x+(ny_0+mx_0)y +(n-mx_0)y_0+(nx_0+m)x_0=0.

再代入 PP 在 BCBC 上的垂足 (x0,−1)(x_0,-1)，即可得到上面的点向式。

斯坦纳线​

来源：§11.11，PDF 第 287 页。

定义。 外接圆上一点 PP 关于三边所在直线的三个对称点共线，其直线称为斯坦纳线。原稿使用的重述是：该线经过垂心。

其方程为

x0y+(bc+1+y0)x=x0(bc−1),\boxed{x_0y+(bc+1+y_0)x=x_0(bc-1),}

等价地，

x0y+(y0−2n)x+(2n+2)x0=0.\boxed{x_0y+(y_0-2n)x+(2n+2)x_0=0.}

原稿通过 H=(0,bc−1)H=(0,bc-1) 与 PP 关于 BCBC 的反射点 (x0,−2−y0)(x_0,-2-y_0) 写出此线，再验证另外的反射点也在线上。

点 (x0,y0)(x_0,y_0) 关于 ax+by+c=0ax+by+c=0 的反射点为

((b2−a2)x0−2aby0−2aca2+b2,−2abx0+(a2−b2)y0−2bca2+b2).\left( \frac{(b^2-a^2)x_0-2ab y_0-2ac}{a^2+b^2}, \frac{-2abx_0+(a^2-b^2)y_0-2bc}{a^2+b^2} \right).

对于 AB:x−by=0AB:x-by=0，反射点为

((b2−1)x0+2by01+b2,2bx0+(1−b2)y01+b2).\left(\frac{(b^2-1)x_0+2by_0}{1+b^2}, \frac{2bx_0+(1-b^2)y_0}{1+b^2}\right).

将其代入斯坦纳线，余式为

2b1+b2(x02+y02−2mx0−2ny0)=0.\frac{2b}{1+b^2}\left(x_0^2+y_0^2-2mx_0-2ny_0\right)=0.

Poncelet 点：以等轴双曲线中心计算​

来源：§11.12，PDF 第 288–289 页；第 276 页提前展示同一例子。

本节另设

A=(−a,0),B=(−b,−bk),C=(c,0),D=(d,dk),ac=1.A=(-a,0),\quad B=(-b,-bk),\quad C=(c,0),\quad D=(d,dk),\quad ac=1.

对角线交点在原点。原稿使用的几何重述为：Poncelet 点是过 A,B,C,DA,B,C,D 的等轴双曲线的中心。

将双曲线写为

x2+βxy−y2+δx+εy+φ=0.x^2+\beta xy-y^2+\delta x+\varepsilon y+\varphi=0.

代入四个点，得到

β=bdk2−bd+acbdk,δ=a−c,φ=−ac,\beta=\frac{bdk^2-bd+ac}{bdk},\qquad \delta=a-c,\qquad \varphi=-ac, ε=a(c(b−d)−bd)+bcdbdk.\varepsilon=\frac{a\bigl(c(b-d)-bd\bigr)+bcd}{bdk}.

使用 ac=1ac=1，可写成

β=k2−1+(bd)−1k,δ=a−c,ε=d−1−b−1−a+ck,φ=−1.\beta=\frac{k^2-1+(bd)^{-1}}k,\qquad \delta=a-c,\qquad \varepsilon=\frac{d^{-1}-b^{-1}-a+c}{k},\qquad \varphi=-1.

中心 Pp=(xp,yp)P_p=(x_p,y_p) 由原稿所列的两条一次方程确定：

{2xp+βyp+δ=0,βxp−2yp+ε=0.\boxed{ \begin{cases} 2x_p+\beta y_p+\delta=0,\\ \beta x_p-2y_p+\varepsilon=0. \end{cases}}

这已经是可直接使用的坐标约束，无需抄录整页展开式。原稿随后引入

u=c−a,v=d−b,λ=bdu=c-a,\qquad v=d-b,\qquad \lambda=bd

来整理结果；四点共圆时有

λ(1+k2)=1.\lambda(1+k^2)=1.

:::caution 原稿紧凑结果待校对 第 288–289 页的紧凑坐标式存在括号、幂次及 vv 的符号不一致，且与同页双曲线中心方程不完全相符。本页保留可核对的曲线系数与中心方程；不将那组紧凑结果作为可直接套用公式。紧凑形式：解答待添加。 :::