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§11.3 内切圆巧合点与例题

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》§11.13–11.16，PDF 第 290–298 页。原章作者：数之谜 @RynW1988、@科学之杨；A-Humpty、A-Dumpty 一节注明 @Lyra 提供、@RynW1988 修订。

前两节沿用 A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1),O=(m,n),I=(i,j)A=(0,0),B=(-b,-1),C=(c,-1),O=(m,n),I=(i,j) 的标架；弧中点与最后例题另行设坐标。

Feuerbach 点​

来源：§11.13，PDF 第 290–291 页。

定义。 内切圆与九点圆的切点称为 Feuerbach 点。

设

Δ=(3j+2)2+i2.\Delta=(3j+2)^2+i^2.

则原稿给出的坐标为

F=(i((3j+2)j+i2)Δ,(2j+1)i2−(3j+2)2Δ).\boxed{ F=\left( \frac{i\bigl((3j+2)j+i^2\bigr)}{\Delta}, \frac{(2j+1)i^2-(3j+2)^2}{\Delta} \right). }

原稿的根轴与垂足推导​

九点圆圆心为

O9=O+H2=(m2,−n+22),O_9=\frac{O+H}{2}=\left(\frac m2,-\frac{n+2}{2}\right),

九点圆方程为

x2+y2=mx−(n+2)y−(n+1).x^2+y^2=mx-(n+2)y-(n+1).

因为内切圆半径为 1+j1+j，其方程为

x2−2ix+y2−2jy=−i2+2j+1.x^2-2ix+y^2-2jy=-i^2+2j+1.

两圆的根轴为

(2i−m)x+(2j+2+n)y−i2+2j+2+n=0.(2i-m)x+(2j+2+n)y-i^2+2j+2+n=0.

将内心 (i,j)(i,j) 向根轴投影，再代入

m=ij1+2j,n=j2−i22(1+2j),m=\frac{ij}{1+2j},\qquad n=\frac{j^2-i^2}{2(1+2j)},

得到上面的 FF。原稿还将其代入内切圆方程验证余式为 00。

A-Humpty 与 A-Dumpty​

来源：§11.14，PDF 第 292–293 页。

A-Humpty 的定义。 三角形内部一点 PAP_A 满足

∠PABC=∠PAAB,∠PACB=∠PAAC.\angle P_ABC=\angle P_AAB,\qquad \angle P_ACB=\angle P_AAC.

原稿的重述是：PAP_A 为垂心 HH 到中线 AMAM 的垂足，其中 MM 为 BCBC 的中点。

在当前标架中

M=(m,−1),AM:x+my=0,H=(0,−2n−2).M=(m,-1),\qquad AM:x+my=0,\qquad H=(0,-2n-2).

由垂足公式，

AH=(2m(n+1)1+m2,−2(n+1)1+m2).\boxed{ A_H=\left(\frac{2m(n+1)}{1+m^2},-\frac{2(n+1)}{1+m^2}\right). }

原稿用斜率核对角条件。涉及的两个式子为

kAHC=−2n−m2+12mn−cm2+2m−c,k_{A_HC}=-\frac{2n-m^2+1}{2mn-cm^2+2m-c}, −m−1+c−11+(mc)−1=m−ccm+1.\frac{-m^{-1}+c^{-1}}{1+(mc)^{-1}}=\frac{m-c}{cm+1}.

二者之差的分子在 2m=c−b,2n=−(1+bc)2m=c-b,2n=-(1+bc) 下为 00；对另一侧作对称处理。

A-Dumpty 的定义。 A-Humpty 点的等角共轭点。

把 AHA_H 代入等角共轭坐标公式，得到

AD=(m(n+1)1+m2,n−m21+m2).\boxed{ A_D=\left(\frac{m(n+1)}{1+m^2},\frac{n-m^2}{1+m^2}\right). }

弧中点公式​

来源：§11.15，PDF 第 294 页。

另设 B=(0,0),E=(e,eu),F=(f,fv)B=(0,0),E=(e,eu),F=(f,fv)，三点在同一圆上，弧 EFEF 的中点记为 G=(g,gt)G=(g,gt)。

原稿给出

α=(1+u2)(1+v2)−uv,β=(1+u2)(1+v2)+uv,\alpha=\sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}-uv,\qquad \beta=\sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}+uv, 2(v−u)g=α(fv−eu)−(ev−fu),(u+v)t=β−1.\boxed{2(v-u)g=\alpha(fv-eu)-(ev-fu),\qquad (u+v)t=\beta-1.}

弧 EFEF 有两个中点，二者互为对径点。使用根号表达式时，应按照原图的弧选择分支；斜率的形式也要求相应分母非零。

印刷计算过程​

写圆的方程为

x2+y2=Jx+Ky.x^2+y^2=Jx+Ky.

代入 E,FE,F，得到

J=−u(−fv2−f)+eu2v+evu−v,K=−fv2+eu2−f+eu−v.J=-\frac{u(-fv^2-f)+eu^2v+ev}{u-v},\qquad K=\frac{-fv^2+eu^2-f+e}{u-v}.

圆斜式给出

g=J+Kt1+t2.g=\frac{J+Kt}{1+t^2}.

角平分关系给出

2t1−t2=u+v1−uv.\frac{2t}{1-t^2}=\frac{u+v}{1-uv}.

原稿展示其中一个根

t=1+u21+v2+uv−1u+v,t=\frac{\sqrt{1+u^2}\sqrt{1+v^2}+uv-1}{u+v},

再代入圆斜式得到 gg 的表达。

例题：原稿标为“25IMO G2”​

来源：§11.16，PDF 第 295–298 页。标题沿用原稿；此处未另行核对赛事编号。

题目。 圆 Ω,Γ\Omega,\Gamma 的圆心分别为 M,NM,N，且 Ω\Omega 的半径较小。两圆交于相异的 A,BA,B。直线 MNMN 与 Ω\Omega 的一个交点为 CC，与 Γ\Gamma 的一个交点为 DD，且 C,M,N,DC,M,N,D 在直线上依次排列。记 PP 为 △ACD\triangle ACD 的外心，APAP 再次交 Ω,Γ\Omega,\Gamma 于 E,FE,F，HH 为 △PMN\triangle PMN 的垂心。证明：过 HH 且平行于 APAP 的直线与 △BEF\triangle BEF 的外接圆相切。

1. 重标字母与建系​

以下照原稿解答重新标点：将题目的 C,D,BC,D,B 分别改记为 B,C,LB,C,L，其他字母不变。因此最后要证明的是直线与 ⊙LEF\odot LEF 相切。

设

A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1),L=(0,−2).A=(0,0),\quad B=(-b,-1),\quad C=(c,-1),\quad L=(0,-2).

此时 PP 是 △ABC\triangle ABC 的外心，

P=(c−b2,−1+bc2),AP:y=px,p=1+bcb−c.P=\left(\frac{c-b}{2},-\frac{1+bc}{2}\right),\qquad AP:y=px,\qquad p=\frac{1+bc}{b-c}.

两圆心均在 y=−1y=-1 上。由 AB,ACAB,AC 的垂直平分线

2y+2bx=−(1+b2),2y−2cx=−(1+c2),2y+2bx=-(1+b^2),\qquad 2y-2cx=-(1+c^2),

得到

M=(−μ,−1),N=(ν,−1),μ=b2−12b,ν=c2−12c.M=(-\mu,-1),\qquad N=(\nu,-1),\qquad \mu=\frac{b^2-1}{2b},\qquad \nu=\frac{c^2-1}{2c}.

这里用 μ,ν\mu,\nu 代替原解答本节的 m,nm,n，避免与本组其他页面的外心变量混淆。

2. 求垂心与两交点​

由 MNMN 水平及 HM⊥PNHM\perp PN，原稿得到

H=(c−b2,1−3bc2bc).H=\left(\frac{c-b}{2},\frac{1-3bc}{2bc}\right).

两圆方程分别为

Ω:x2+y2+2μx+2y=0,Γ:x2+y2−2νx+2y=0.\Omega:x^2+y^2+2\mu x+2y=0,\qquad \Gamma:x^2+y^2-2\nu x+2y=0.

设 E=(e,pe),F=(f,pf)E=(e,pe),F=(f,pf)，圆斜式给出

e(1+p2)=−2μ−2p,f(1+p2)=2ν−2p.e(1+p^2)=-2\mu-2p,\qquad f(1+p^2)=2\nu-2p.

因而

e=c2−b2b(1+c2),f=c2−b2c(1+b2).e=\frac{c^2-b^2}{b(1+c^2)},\qquad f=\frac{c^2-b^2}{c(1+b^2)}.

3. 移轴到公共点 LL​

把原点平移到 L=(0,−2)L=(0,-2)，新坐标中

L=(0,0),E=(e,pe+2),F=(f,pf+2),L=(0,0),\quad E=(e,pe+2),\quad F=(f,pf+2), H=(c−b2,1+(bc)−12).H=\left(\frac{c-b}{2},\frac{1+(bc)^{-1}}2\right).

过 HH 且平行于 APAP 的直线为

ℓ:y−px=T,T=(bc+1)22bc.\ell:y-px=T,\qquad T=\frac{(bc+1)^2}{2bc}.

设 ⊙LEF:x2+y2=Jx+Ky\odot LEF:x^2+y^2=Jx+Ky。代入 E,FE,F 后，

J=(bc+1)(c−b)2bc,K=−(c−b)22bc.J=\frac{(bc+1)(c-b)}{2bc},\qquad K=-\frac{(c-b)^2}{2bc}.

4. 比较圆心到直线的距离与半径​

圆心为 (J/2,K/2)(J/2,K/2)，半径平方为

R2=J2+K24=(1+b2)(c−b)2(1+c2)16b2c2.R^2=\frac{J^2+K^2}{4} =\frac{(1+b^2)(c-b)^2(1+c^2)}{16b^2c^2}.

圆心到 ℓ\ell 的距离平方为

d2=(K/2−pJ/2−T)21+p2=(1+b2)(c−b)2(1+c2)16b2c2.d^2=\frac{(K/2-pJ/2-T)^2}{1+p^2} =\frac{(1+b^2)(c-b)^2(1+c^2)}{16b^2c^2}.

故 d2=R2d^2=R^2，直线 ℓ\ell 与 ⊙LEF\odot LEF 相切，恢复原题字母即得结论。

校对说明：第 297 页最后一行的距离公式将 J,KJ,K 写反，第 298 页实际程序输入及结果使用 K/2−pJ/2K/2-pJ/2；这里按后者整理。