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§11.4 等截共轭与三角形巧合点

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》§11.17–11.23，PDF 第 299–305 页。原章作者：数之谜 @RynW1988、@科学之杨。

沿用

A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1),A=(0,0),\qquad B=(-b,-1),\qquad C=(c,-1), O=(m,n),I=(i,j),G=(2m3,−23),H=(0,−2n−2),O=(m,n),\qquad I=(i,j),\qquad G=\left(\frac{2m}{3},-\frac23\right),\qquad H=(0,-2n-2),

以及

2m=c−b,2n=−(1+bc),m=ij1+2j,n=j2−i22(1+2j).2m=c-b,\qquad 2n=-(1+bc),\qquad m=\frac{ij}{1+2j},\qquad n=\frac{j^2-i^2}{2(1+2j)}.

以下有理式均要求相应分母非零、所定义的几何对象存在。

鲨鱼恶魔点​

来源：§11.17，PDF 第 299 页。

设 XX 为 AA 在外接圆上的对径点，DD 为内心 II 在 BCBC 上的垂足，NN 为南极点，即不含 AA 的弧 BCBC 的中点。原稿以

SD=DN∩XIS_D=DN\cap XI

描述鲨鱼恶魔点，并给出

SD=(i(i2+j2+j)i2+(j+1)2,−i2i2+(j+1)2).\boxed{ S_D=\left( \frac{i(i^2+j^2+j)}{i^2+(j+1)^2}, -\frac{i^2}{i^2+(j+1)^2} \right). }

原稿将证明指向第 9 章，本节只保留定义与坐标公式。

Nagel 点​

来源：§11.18，PDF 第 300 页。

定义。 AA 旁切圆与 BCBC 的切点为 DD，循环定义 E,FE,F，则 AD,BE,CFAD,BE,CF 的交点称为 Nagel 点 NaN_a。

原稿使用的重述是：NaN_a 为内心 II 关于重心 GG、位似比为 −2-2 的像。因此

Na=G−2(I−G)=3G−2I.N_a=G-2(I-G)=3G-2I.

于是

xNa=2m−2i=2ij1+2j−2i=−2i(1+j)1+2j,yNa=−2−2j,x_{N_a}=2m-2i=\frac{2ij}{1+2j}-2i =-\frac{2i(1+j)}{1+2j},\qquad y_{N_a}=-2-2j, Na=(−2i(1+j)1+2j,−2−2j).\boxed{N_a=\left(-\frac{2i(1+j)}{1+2j},-2-2j\right).}

校对说明：第 300 页两处红色摘要把横坐标写成 −i/(1+2j)-i/(1+2j)，漏掉了因子 2(1+j)2(1+j)。这里采用同页印刷推导及第 303 页实际程序输入一致的表达式。

等截共轭点​

来源：§11.19，PDF 第 301–302 页。

定义。 给定不在三边所在直线上的点 PP，令 AP∩BC=DAP\cap BC=D，D′D' 为 DD 关于 BCBC 中点的对称点。循环定义 E′,F′E',F'，则 AD′,BE′,CF′AD',BE',CF' 的交点称为 PP 的等截共轭点，记为 PicP_{\mathrm{ic}}。

原稿列出的例子为：重心的等截共轭是自身；垂心的等截共轭是陪位重心关于重心、位似比为 −2-2 的像；Nagel 点与 Gergonne 点互为等截共轭。

坐标公式​

设 P=(p,q)P=(p,q)，记

U=(b+c)2(q+1)((c−b)q+p),V=−(b+c)2q(q+1),Δ=(b2+bc+c2)q2+p2+(c−b)pq+(b+c)2q.\begin{aligned} U&=(b+c)^2(q+1)\bigl((c-b)q+p\bigr),\\ V&=-(b+c)^2q(q+1),\\ \Delta&=(b^2+bc+c^2)q^2+p^2+(c-b)pq+(b+c)^2q. \end{aligned}

则

Pic=(UΔ,VΔ).\boxed{P_{\mathrm{ic}}=\left(\frac U\Delta,\frac V\Delta\right).}

换成外心变量后，同一组分子与分母为

U=−4(2n−m2+1)(q+1)(2mq+p),V=4(2n−m2+1)q(q+1),Δ=(4m2−6n−3)q2+(2mp+4m2−8n−4)q+p2.\begin{aligned} U&=-4(2n-m^2+1)(q+1)(2mq+p),\\ V&=4(2n-m^2+1)q(q+1),\\ \Delta&=(4m^2-6n-3)q^2 +(2mp+4m^2-8n-4)q+p^2. \end{aligned}

印刷推导​

先有

D=(−pq,−1),D′=(2m+pq,−1),D=\left(-\frac pq,-1\right),\qquad D'=\left(2m+\frac pq,-1\right), AD′:qx+(2mq+p)y=0.AD':\quad qx+(2mq+p)y=0.

另一方面，

BP:(p+b)y−(q+1)x=bq−p,AC:x+cy=0.BP:\quad (p+b)y-(q+1)x=bq-p,\qquad AC:\quad x+cy=0.

设 E=BP∩AC=(e,f)E=BP\cap AC=(e,f)，联立得到

e=−bcq−cpcq+p+c+b,f=bq−pcq+p+c+b.e=-\frac{bcq-cp}{cq+p+c+b},\qquad f=\frac{bq-p}{cq+p+c+b}.

因为 E′=(c−e,−1−f)E'=(c-e,-1-f)，可写

BE′:(b+c−e)(y+1)+f(x+b)=0.BE':\quad (b+c-e)(y+1)+f(x+b)=0.

将它与 AD′AD' 联立并整理，得到上面的 PicP_{\mathrm{ic}}。原稿再代入

p=c−b3,q=−23,p=\frac{c-b}{3},\qquad q=-\frac23,

输出仍为 ((c−b)/3,−2/3)((c-b)/3,-2/3)，核对了 G↦GG\mapsto G。

Gergonne 点​

来源：§11.20，PDF 第 303 页。

定义。 内切圆与 BC,CA,ABBC,CA,AB 的切点分别为 D,E,FD,E,F，则 AD,BE,CFAD,BE,CF 的交点称为 Gergonne 点 GeG_e。

原稿利用 GeG_e 是 NaN_a 的等截共轭点，把

p=−2i(1+j)1+2j,q=−2−2jp=-\frac{2i(1+j)}{1+2j},\qquad q=-2-2j

代入上一节坐标公式，并将 m,nm,n 换成 i,ji,j，得到

xGe=4ij−2i3+2i3j−2i2+1,yGe=−4j−2i2+23j−2i2+1.x_{G_e}=\frac{4ij-2i^3+2i}{3j-2i^2+1},\qquad y_{G_e}=-\frac{4j-2i^2+2}{3j-2i^2+1}.

记

g=2(2j+1−i2)3j+1−2i2,g=\frac{2(2j+1-i^2)}{3j+1-2i^2},

则

Ge=(ig,−g).\boxed{G_e=(ig,-g).}

校对说明：原稿摘要把点名缩写为 GG，容易与重心混淆；末行又将 ig,−gig,-g 的符号说明写反。这里统一写作 GeG_e，符号按印刷程序结果及该页首个坐标式整理。

De Longchamps 点与 Bevan 点​

来源：§11.21，PDF 第 304 页；名称沿用原稿。

原稿分别用外心对垂心、内心的反射描述两点：

De=2O−H,Bv=2O−I.D_e=2O-H,\qquad B_v=2O-I.

直接代入可得

De=(2m,4n+2),\boxed{D_e=(2m,4n+2),} Bv=(−i1+2j,−i2+j2+j1+2j).\boxed{ B_v=\left(-\frac{i}{1+2j},-\frac{i^2+j^2+j}{1+2j}\right). }

其中 Bevan 点的印刷计算为

(2m,2n)−(i,j)=(2ij1+2j,j2−i21+2j)−(i,j).(2m,2n)-(i,j) =\left(\frac{2ij}{1+2j},\frac{j^2-i^2}{1+2j}\right)-(i,j).

中聚点​

来源：§11.22，PDF 第 304 页。

原稿给出中聚点 MiM_i 与重心、Gergonne 点的关系

Mi=G−Ge−G2,2Mi=3G−Ge=(2m−ig,g−2).M_i=G-\frac{G_e-G}{2},\qquad 2M_i=3G-G_e=(2m-ig,g-2).

因此可直接使用

Mi=(m−ig2,g−22),g=2(2j+1−i2)3j+1−2i2.\boxed{M_i=\left(m-\frac{ig}{2},\frac{g-2}{2}\right), \qquad g=\frac{2(2j+1-i^2)}{3j+1-2i^2}.}

校对说明：原稿随后展开横坐标时，分子首项与分母括号排印存在歧义。本页保留上一行完整的位似关系，不将该展开式作为独立公式。

切聚点：原稿标为 X(57)X(57)​

来源：§11.23，PDF 第 305 页。

原稿定义。 内切圆的切点三角形与旁心三角形的位似中心。

原稿的第一种重述为

X(57)=OI∩JD,X(57)=OI\cap JD,

其中 JJ 为 AA 旁心，DD 为内心 II 在 BCBC 上的垂足。第二种重述则说，X(57)X(57) 是中聚点 MiM_i 的等角共轭点。

:::caution 原稿输入点与重述不一致 第 305 页实际程序代入的是 x=ig,y=−gx=ig,y=-g，即上一节的 Gergonne 点 GeG_e，并非中聚点 MiM_i。以下保留该页的印刷输出及共线验证记录；在这一差异核对前，不将输出认定为已确认的 X(57)X(57) 坐标。按几何定义补齐验证：解答待添加。 :::

原稿先令

F=x2+y2−2mx−2ny,F=x^2+y^2-2mx-2ny,

再计算等角共轭变换

u=2(1+y)(my−nx)F,v=2(1+y)(mx+ny)F.u=\frac{2(1+y)(my-nx)}F,\qquad v=\frac{2(1+y)(mx+ny)}F.

代入该页列出的 x=ig,y=−gx=ig,y=-g 及 g,m,ng,m,n 后，印刷结果为

u=ij2+2ij−i33j2+6j−i2+2,v=j2−2i2j−i23j2+6j−i2+2.u=\frac{ij^2+2ij-i^3}{3j^2+6j-i^2+2},\qquad v=\frac{j^2-2i^2j-i^2}{3j^2+6j-i^2+2}.

原稿随后计算

v−ju−i−n−jm−i,\frac{v-j}{u-i}-\frac{n-j}{m-i},

程序显示结果为 00，记录了所列点与 O,IO,I 的共线关系。该记录本身尚不能解决上述输入点身份的差异。